複素数平面の問題

三角形 $\mathrm{ABC}$ は正三角形なので、$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$、$\angle \mathrm{BAC}=\frac{\pi }{3}$ である。

頂点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ がこの順に反時計回りに並んでいる。このとき、点 $\mathrm{C}$ は、点 $\mathrm{B}$ を点 $\mathrm{A}$ を中心として $\frac{\pi }{3}$ だけ回転した点である。よって
$$\gamma -\alpha =\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)(\beta -\alpha )$$
が成り立つ。

$\beta -\alpha =(3+5i)-(1+i)=2+4i$ であるから
$$\gamma -\alpha =\frac{1+\sqrt{3}i}{2}(2+4i)=\frac{2+4i+2\sqrt{3}i+4\sqrt{3}{i}^2}{2}$$
$$=\frac{(2-4\sqrt{3})+(4+2\sqrt{3})i}{2}=(1-2\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})i$$
となる。したがって
$$\gamma =(1+i)+(1-2\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})i=2-2\sqrt{3}+(3+\sqrt{3})i$$
である。

（確認）$|\gamma -\alpha {|}^2=(1-2\sqrt{3}{)}^2+(2+\sqrt{3}{)}^2=(13-4\sqrt{3})+(7+4\sqrt{3})=20$ である。また $|\beta -\alpha {|}^2=2^2+4^2=20$ である。よって $\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$ が成り立つ。

答え: $\gamma =2-2\sqrt{3}+(3+\sqrt{3})i$

A, B, C が反時計回りの正三角形なので、C は A を中心に B を $+\frac{\pi }{3}$ 回転した点である。したがって $\gamma -\alpha =(\beta -\alpha )\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)$。
$\beta -\alpha =2+4i$、$\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。
積は $(2+4i)\left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=1+\sqrt{3}i+2i+2\sqrt{3}{i}^2=(1-2\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})i$。
よって $\gamma =1+i+(1-2\sqrt{3})+(2+\sqrt{3})i=(2-2\sqrt{3})+(3+\sqrt{3})i$。
検算: $|\gamma -\alpha {|}^2=(1-2\sqrt{3}{)}^2+(2+\sqrt{3}{)}^2=(13-4\sqrt{3})+(7+4\sqrt{3})=20$ で $|\beta -\alpha {|}^2=4+16=20$ と一致する。また $\gamma -\beta =(-1-2\sqrt{3})+(-2+\sqrt{3})i$ で、$|\gamma -\beta {|}^2=(13+4\sqrt{3})+(7-4\sqrt{3})=20$ となり、3辺の長さが等しい。向きについては、$(\beta -\alpha )$ から $(\gamma -\alpha )$ への外積が $2(2+\sqrt{3})-4(1-2\sqrt{3})=10\sqrt{3}>0$ で反時計回りである。