単元一覧 › 高校数学 › 数学C

複素数平面

扱うテーマ: 複素数の極形式、ド・モアブルの定理、複素数と図形（回転・距離）、方程式 z^n=a の解

難易度の目安（高校数学）

難易度 1 教科書の例題レベル
難易度 2 教科書の章末問題レベル
難易度 3 共通テストレベル
難易度 4 国公立二次の標準レベル
難易度 5 最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル

キーワードで探す →

難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。2 つの複素数 $α, β$ を
$α = 4 (cos \frac{5}{12} π + i sin \frac{5}{12} π), β = 2 (cos \frac{π}{12} + i sin \frac{π}{12})$
と定める。商 $\frac{α}{β}$ を $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。2 つの複素数 $α, β$ を
$α = 4 (cos \frac{7}{12} π + i sin \frac{7}{12} π), β = 2 (cos \frac{π}{4} + i sin \frac{π}{4})$
と定める。 $\frac{α}{β}$ の値を $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。 $(3 - i)^{5}$ を計算し、 $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数 $(3 - i)^{5}$ を計算し、 $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数 $z$ についての方程式
$z^{3} = 8 i$
の解をすべて求めよ。ただし、解は $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数 $z$ についての方程式
$z^{3} = 8 i$
の解をすべて求めよ。ただし、解は $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に $3$ 点 $A (1)$ , $B (3 + i)$ , $C (2 + 3 i)$ がある。 $∠ BAC$ の大きさを弧度法で求めよ。ただし、 $0 ≦ ∠ BAC ≦ π$ とする。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に $3$ 点 $A (1 + i)$ , $B (4 + 2 i)$ , $C (3 + 5 i)$ がある。 $∠ BAC$ の大きさ $θ$ を求めよ。ただし $0 ≦ θ ≦ π$ とし、弧度法で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数 $z$ についての方程式 $z^{4} = - 4$ の解をすべて求めよ。ただし、解は $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数 $z$ についての方程式
$z^{4} = - 4$
の解をすべて求めよ。ただし、解は $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数 $z$ についての方程式 $z^{4} = - 16$ の解をすべて求めよ。ただし、解は $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で答えよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に $2$ 点 $A (1 + i)$ , $B (3 + 3 i)$ がある。点 $B$ を点 $A$ を中心として反時計回りに $\frac{π}{4}$ だけ回転した点を $C (w)$ とする。複素数 $w$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に $2$ 点 $A (1 + i)$ , $B (3 + 2 i)$ がある。点 $B$ を、点 $A$ を中心として反時計回りに $\frac{π}{4}$ だけ回転し、さらに点 $A$ からの距離を $2$ 倍にした点を $C (γ)$ とする。複素数 $γ$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に $2$ 点 $A (2 + i)$ , $B (5 + 3 i)$ がある。点 $B$ を、点 $A$ を中心として反時計回りに $\frac{π}{4}$ だけ回転し、さらに点 $A$ からの距離を $2$ 倍した点を $C (γ)$ とする。複素数 $γ$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に $2$ 点 $A (- 1 + 3 i)$ , $B (2 - i)$ がある。 $2$ 点 $A$ , $B$ 間の距離 $AB$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数平面上の 2 点 $A (- 1 + 3 i)$ , $B (5 - 5 i)$ の間の距離 $AB$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に 2 点 $A (2 + 5 i)$ , $B (- 3 - 7 i)$ がある。2 点 $A$ , $B$ 間の距離 $AB$ を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とし、複素数 $z$ を $z = - 1 + i$ と定める。 $z^{n}$ が実数となるような最小の正の整数 $n$ を $n_{0}$ とするとき、 $z^{n_{0}}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とし、複素数 $z$ を $z = 3 - i$ と定める。 $z^{n}$ が純虚数となるような最小の正の整数 $n$ を $N$ とするとき、 $z^{N}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とし、複素数 $z$ を $z = 1 + 3 i$ と定める。 $z^{n}$ が実数となるような最小の正の整数 $n$ を $n_{0}$ とするとき、 $z^{n_{0}}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。次の値を求めよ。 $(1 + cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})^{6}$
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とし、 $θ$ は $0 < θ < π$ を満たす実数とする。複素数 $z$ を
$z = 1 + cos θ + i sin θ$
と定める。 $z$ を極形式で表すことにより、 $z$ の絶対値 $∣ z ∣$ を $θ$ を用いて表せ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数 $α$ を
$α = 1 + cos \frac{π}{6} + i sin \frac{π}{6}$
と定める。 $α^{6}$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
複素数 $z$ が等式
$∣ z - 3 i ∣ = 2∣ z ∣$
を満たすとき、複素数平面上で点 $z$ が描く図形は円になる。この円の中心を表す複素数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
複素数平面上で、等式 $∣ z - 3 i ∣ = 2∣ z ∣$ を満たす点 $z$ 全体は円をえがく。この円の中心を表す複素数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
複素数平面上で、等式
$∣ z - 3 i ∣ = 2∣ z ∣$
を満たす点 $z$ 全体は円を描く。この円の中心を表す複素数を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
複素数 $z$ についての方程式 $z^{5} = 1$ の解のうち、 $1$ 以外の $4$ 個を $α_{1}, α_{2}, α_{3}, α_{4}$ とする。このとき、 $(2 - α_{1}) (2 - α_{2}) (2 - α_{3}) (2 - α_{4})$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
複素数 $z$ についての方程式 $z^{5} = 1$ の互いに異なる $5$ 個の解を $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{5}$ とする。このとき、積 $(2 - z_{1}) (2 - z_{2}) (2 - z_{3}) (2 - z_{4}) (2 - z_{5})$ の値を求めよ。
難易度 1（教科書の例題レベル）
複素数 $z$ についての方程式
$z^{6} = 1$
の解のうち、 $1$ 以外のものを $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4}, z_{5}$ とする。このとき、積
$P = (2 - z_{1}) (2 - z_{2}) (2 - z_{3}) (2 - z_{4}) (2 - z_{5})$
の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
複素数 $z$ についての方程式
$z^{4} = - 8 + 83 i$
の解をすべて求めよ。ただし、解は $a + bi$ （ $a, b$ は実数）の形で答えよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$i$ を虚数単位とし、複素数 $z$ を
$z = \frac{3 + i}{1 + i}$
と定める。 $z^{n}$ が純虚数となる最小の正の整数 $n$ を $n_{0}$ とするとき、 $z^{n_{0}}$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
複素数平面上に 2 点 $A (2 + i)$ , $B (4 + 3 i)$ がある。点 $C (z)$ を、 $△ ABC$ が正三角形で、頂点 $A, B, C$ がこの順に反時計回りに並ぶようにとる。複素数 $z$ を求めよ。ただし、 $i$ は虚数単位とする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
複素数 $w$ を
$w = \frac{3 + i}{1 + i}$
とする。 $w^{n}$ が実数となる最小の正の整数 $n$ を考える。この $n$ に対する $w^{n}$ の値を求めよ。ただし、 $i$ は虚数単位とする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
複素数平面上に 3 点 $A (α)$ , $B (β)$ , $C (γ)$ があり、 $α = 1 + i$ , $β = 3 + 5 i$ である。三角形 $ABC$ は正三角形で、頂点 $A$ , $B$ , $C$ はこの順に反時計回りに並んでいる。複素数 $γ$ を求めよ。ただし、 $i$ は虚数単位とする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
複素数 $z$ を
$z = \frac{3 + i}{1 - i}$
と定める。ただし $i$ は虚数単位とする。 $z^{n}$ が正の実数となるような最小の正の整数 $n$ を考える。この $n$ に対する $z^{n}$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
複素数 $z$ を
$z = \frac{3 + i}{1 - i}$
と定める。ただし、 $i$ は虚数単位とする。 $z^{n}$ が正の実数となるような最小の正の整数 $n$ を考える。この $n$ に対する $z^{n}$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
複素数平面上に 3 点 $A (α)$ , $B (β)$ , $C (γ)$ がある。 $α = 1 + i$ , $β = 3 + 2 i$ であり、 $△ ABC$ は正三角形で、頂点 $A$ , $B$ , $C$ はこの順に反時計回りに並んでいる。このとき、複素数 $γ$ を求めよ。ただし、 $i$ は虚数単位とする。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
複素数 $z$ を
$z = \frac{3 + i}{1 + i}$
と定める。ただし $i$ は虚数単位とする。 $z^{n}$ が実数となるような最小の正の整数 $n$ を $n_{0}$ とするとき、 $z^{n_{0}}$ の値を求めよ。
難易度 2（教科書の章末問題レベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に $2$ 点 $A (1 + 2 i)$ , $B (4 + 3 i)$ がある。線分 $AB$ を $1$ 辺とする正方形 $ABCD$ を、頂点 $A, B, C, D$ がこの順に反時計回りに並ぶようにつくる。頂点 $C$ を表す複素数を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
複素数 $α$ を
$α = \frac{3 + i}{1 - i}$
で定める。ただし $i$ は虚数単位とする。 $α^{n}$ が実数となるような正の整数 $n$ のうち最小のものを $n_{0}$ とするとき、 $α^{n_{0}}$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$n$ は $1 ≦ n ≦ 30$ を満たす整数とする。 $z$ についての方程式
$z^{n} = i$
の解の中に、実部と虚部が等しい複素数が存在するような $n$ をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
複素数 $α$ を
$α = \frac{3 + i}{1 - i}$
と定める。 $α^{n}$ が正の実数となるような正の整数 $n$ のうち最小のものを $N$ とするとき、 $α^{N}$ の値を求めよ。ただし、 $i$ は虚数単位とする。
難易度 3（共通テストレベル）
複素数 $z$ についての方程式
$z^{4} = - 8 - 83 i$
の解のうち、実部が正であるものをすべて考える。それらの和を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
複素数平面上で、点 $P (α)$ は原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円周上を動く。点 $A (3)$ を中心として点 $P$ を $\frac{π}{3}$ だけ回転した点を $Q (γ)$ とする。点 $B (- 3)$ と点 $Q$ の距離 $BQ$ の最大値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
複素数 $z$ を
$z = \frac{3 + i}{1 - i}$
と定める。ただし $i$ は虚数単位である。 $z^{n}$ が純虚数となるような最小の正の整数 $n$ を $N$ とするとき、 $z^{N}$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
複素数 $z$ についての方程式
$z^{4} = - 8 + 83 i$
を考える。この方程式の解のうち、実部が正であるものすべての積を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
複素数 $z$ についての方程式 $z^{6} = - 27$ の $6$ 個の解を $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{6}$ とする。 $1 \leq j < k \leq 6$ を満たす $15$ 通りの整数の組 $(j, k)$ すべてについての和 $1 \leq j < k \leq 6 \sum ∣ z_{j} - z_{k} ∣^{2}$ を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数 $z$ についての方程式
$z^{3} = - 42 + 42 i$
の解のうち、複素数平面上で第 $1$ 象限（実部と虚部がともに正である部分）にあるものを求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
複素数平面上に正方形 $ABCD$ があり、頂点 $A$ , $B$ , $C$ , $D$ はこの順に反時計回りに並んでいる。頂点 $A$ を表す複素数が $1 + 2 i$ 、頂点 $C$ を表す複素数が $5 + 4 i$ であるとき、頂点 $D$ を表す複素数を求めよ。ただし、 $i$ は虚数単位とする。
難易度 3（共通テストレベル）
複素数 $α$ を $α = (6 + 2) + (6 - 2) i$ と定める。ただし、 $i$ は虚数単位とする。 $α^{6}$ の値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$n$ は $1 ≦ n ≦ 30$ を満たす整数とする。複素数 $z$ についての $2$ つの方程式
$z^{n} = - 1, (z - 1)^{n} = 1$
がともに成り立つような複素数 $z$ が存在する $n$ をすべて求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
$i$ を虚数単位とする。複素数平面上に原点 $O$ と点 $A (2)$ がある。点 $P (z)$ は、虚部が $1$ である複素数 $z$ を表す点全体、すなわち直線 $Im z = 1$ 上を動く。点 $P$ を点 $O$ を中心として反時計回りに $\frac{π}{3}$ だけ回転した点を $Q$ 、点 $P$ を点 $A$ を中心として時計回りに $\frac{π}{3}$ だけ回転した点を $R$ とする。線分 $QR$ の長さの最小値を求めよ。
難易度 3（共通テストレベル）
集合 $U$ を、絶対値が $1$ で偏角が $\frac{π}{1013}$ の整数倍である複素数全体の集合とする。すなわち $U = {cos \frac{k π}{1013} + i sin \frac{k π}{1013} k = 0, 1, 2, \dots, 2025}$ である。ただし $i$ は虚数単位とする。 $U$ の要素 $a, b, c$ （同じものを選んでもよい）の組 $(a, b, c)$ で $a + b + c = 1$ を満たすものの個数を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$θ$ を $0 ≦ θ < 2 π$ を満たす実数とし、 $z = cos θ + i sin θ$ とする。
$w = \frac{( 1 + z ) ^{13}}{z ^{3}}$
が負の実数となるような $θ$ の値をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
複素数平面上で、点 $P (z)$ は原点 $O$ を中心とする半径 $1$ の円周上を動く。点 $A (3)$ を点 $P$ を中心として反時計回りに $\frac{π}{3}$ だけ回転した点を $Q (w)$ とする。3 点 $O, P, Q$ が三角形をつくるとき、三角形 $OPQ$ の面積の最大値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
実数 $θ$ は $0 ≦ θ < 2 π$ を満たすとし、 $z = cos θ + i sin θ$ とおく。ただし $i$ は虚数単位である。
$w = z^{2} + z^{3} + z^{4} + z^{5} + z^{6}$
が正の実数となるような $θ$ をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
次の和 $S$ の値を求めよ。
$S =_{15} C_{0} - 3 \cdot_{15} C_{2} + 3^{2} \cdot_{15} C_{4} - 3^{3} \cdot_{15} C_{6} + \dots + 3^{6} \cdot_{15} C_{12} - 3^{7} \cdot_{15} C_{14}$
すなわち $S = k = 0 \sum 7 (- 3)^{k}_{15} C_{2 k}$ である。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$i$ を虚数単位とし、 $θ$ は $0 < θ < 2 π$ を満たす実数とする。複素数 $z$ を
$z = 1 + cos θ + i sin θ$
と定める。 $z^{5}$ が正の実数となるような $θ$ をすべて求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
複素数 $z$ が
$z + \frac{1}{z} = 3$
を満たすとき、
$S = k = 1 \sum 30 (z^{k} + \frac{1}{z ^{k}})$
の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
複素数 $z$ についての方程式 $(z - 1)^{6} = 64 z^{6}$ は異なる $6$ 個の解をもち、複素数平面上でそれらを表す $6$ 個の点はすべて $1$ つの円周上にある。この円の半径を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
次の和 $S$ の値を求めよ。 $S = k = 0 \sum 10 (- 3)^{k}_{20} C_{2 k} =_{20} C_{0} - 3_{20} C_{2} + 9_{20} C_{4} - \dots + 3^{10}_{20} C_{20}$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
複素数 $z$ についての方程式 $z^{7} = 1$ の解のうち、 $1$ 以外のものを $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{6}$ とする。このとき、 $k = 1 \sum 6 \frac{1}{∣1 - z _{k} ∣ ^{2}}$ の値を求めよ。
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
次の和 $S$ の値を求めよ。
$S = k = 0 \sum 4 cos^{10} \frac{2 k π}{5} = cos^{10} 0 + cos^{10} \frac{2 π}{5} + cos^{10} \frac{4 π}{5} + cos^{10} \frac{6 π}{5} + cos^{10} \frac{8 π}{5}$
難易度 4（国公立二次の標準レベル）
$f (x) = 16 x^{5} - 20 x^{3} + 5 x$ とする。 $x$ についての方程式 $f (f (x)) = x$ の実数解のうち、 $x > \frac{1}{2}$ を満たすものの個数を求めよ。
難易度 5（最難関大の二次・数学オリンピック予選レベル）
$n$ を正の整数とする。複素数 $z$ についての方程式 $z^{n} = - 1$ の $n$ 個の解を $z_{1}, z_{2}, \dots, z_{n}$ とするとき、 $S = k = 1 \sum n \frac{1}{∣1 - z _{k} ∣ ^{4}}$ を $n$ の式で表せ。