複素数平面の問題

$|z-\alpha |=k|z-\beta |$ の形の等式なので、$z=x+yi$（$x,y$ は実数）とおいて、$x,y$ の式に直します。

手順1：絶対値を $x,y$ で表す

$z-3i=x+(y-3)i$ なので
$$|z-3i{|}^2=x^2+(y-3{)}^2,|z{|}^2=x^2+y^2$$
です。

手順2：等式を2乗する

両辺とも $0$ 以上なので、$|z-3i|=2|z|$ は $|z-3i{|}^2=4|z{|}^2$ と同じ条件です。よって
$$x^2+(y-3{)}^2=4(x^2+y^2)$$
左辺を展開すると $x^2+y^2-6y+9=4x^2+4y^2$ となり、整理すると
$$3x^2+3y^2+6y-9=0$$
$$x^2+y^2+2y-3=0$$

手順3：平方完成して円の中心と半径を読み取る

$$x^2+(y+1{)}^2-1-3=0$$
$$x^2+(y+1{)}^2=4$$
これは座標平面で中心 $(0,-1)$、半径 $2$ の円です。

手順4：複素数に戻す

点 $(0,-1)$ は複素数 $0+(-1)i=-i$ を表します。

（別解：$z\bar{z}$ を使う方法）$|z-3i{|}^2=(z-3i)(\bar{z}+3i)=z\bar{z}+3iz-3i\bar{z}+9$ と $4|z{|}^2=4z\bar{z}$ が等しいので、$3z\bar{z}-3iz+3i\bar{z}-9=0$、すなわち $z\bar{z}-iz+i\bar{z}-3=0$。$(z+i)(\bar{z}-i)=z\bar{z}-iz+i\bar{z}+1$ なので $(z+i)(\bar{z}-i)=4$。$\bar{z}-i$ は $z+i$ の共役複素数だから $|z+i{|}^2=4$、つまり $|z-(-i)|=2$ となり、中心 $-i$、半径 $2$ の円です。

答え：$-i$

$z=x+yi$ とおく。$|z-3i|=2|z|$ の両辺を2乗すると $x^2+(y-3{)}^2=4(x^2+y^2)$。展開して整理すると $x^2+y^2-6y+9=4x^2+4y^2$、すなわち $3x^2+3y^2+6y-9=0$。両辺を3で割って $x^2+y^2+2y-3=0$、平方完成して $x^2+(y+1{)}^2=4$。よって中心は $(0,-1)$、半径は2で、中心を表す複素数は $-i$。
検算：$z=i$ のとき $|i-3i|=2$、$2|i|=2$ で成り立つ。$z=-3i$ のとき $|-6i|=6$、$2\cdot 3=6$ で成り立つ。この2点は円の直径の両端で、中点は $-i$ となり中心と一致する。