複素数の等式が表す図形

$∣ z - α ∣ = r$ は円、 $∣ z - α ∣ = ∣ z - β ∣$ は垂直二等分線を表すと読み取れる。 $∣ z - α ∣ = k ∣ z - β ∣$ のような等式は、 $z z ˉ$ を使って展開するか $z = x + y i$ とおいて、点 $z$ が描く図形を求められる

前提

複素数平面と絶対値・共役複素数（数学C 複素数平面）
条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）

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算数中学高校大学大学院

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複素数平面と絶対値・共役複素数（数学C 複素数平面）
円の方程式（数学II 図形と方程式）
条件を満たす点の軌跡（数学II 図形と方程式）

説明

複素数 $z$ についての等式、たとえば $∣ z - α ∣ = r$ 、 $∣ z - α ∣ = ∣ z - β ∣$ 、 $∣ z - α ∣ = k ∣ z - β ∣$ を満たす点 $z$ が、複素数平面上でどんな図形を描くかを求められるようになります。円や直線を、座標を使わずに複素数のまま扱えるのが利点です。軌跡の問題や、複素数の範囲を図示する問題で使います。

なぜそうしてよいのか

出発点は「 $∣ z - α ∣$ は点 $z$ と点 $α$ の距離」という事実です。点 $P (z)$ 、 $A (α)$ 、 $B (β)$ とおきます。 $∣ z - α ∣ = r$ （ $r > 0$ ）は $PA = r$ のことです。点 $A$ から距離 $r$ の点の集まりなので、中心 $α$ 、半径 $r$ の円になります。 $∣ z - α ∣ = ∣ z - β ∣$ （ $α \neq = β$ ）は $PA = PB$ のことです。異なる 2 点 $A, B$ から等距離にある点の集まりなので、線分 $AB$ の垂直二等分線になります。

$∣ z - α ∣ = k ∣ z - β ∣$ （ $k > 0$ 、 $α \neq = β$ ）は $PA : PB = k : 1$ のことです。 $k \neq = 1$ ならアポロニウスの円、 $k = 1$ なら垂直二等分線になります。 $α = β$ のときは別です。 $k = 1$ ならすべての点が条件を満たし、 $k \neq = 1$ なら点 $α$ だけが満たすので、円にはなりません。また $k \neq = 1$ でも、円の中心と半径はこの形からすぐには読めません。そこで式を計算して $∣ z - γ ∣ = r$ の形に直します。

計算では、両辺が 0 以上なので両辺を 2 乗し、 $∣ w ∣^{2} = w w ˉ$ を使って展開します。 $z - α$ の共役は $z ˉ - α ˉ$ なので、 $∣ z - α ∣^{2} = (z - α) (z ˉ - α ˉ) = z z ˉ - α ˉ z - α z ˉ + ∣ α ∣^{2}$ です。この展開を逆向きに見るのが平方完成のこつです。 $z z ˉ - γ ˉ z - γ z ˉ + c = 0$ という形の式があれば、両辺に $∣ γ ∣^{2} - c$ を加えて $(z - γ) (z ˉ - γ ˉ) = ∣ γ ∣^{2} - c$ 、つまり $∣ z - γ ∣^{2} = ∣ γ ∣^{2} - c$ にまとめられます。 $γ$ は「 $z ˉ$ の係数の符号を変えたもの」として読み取ります。 $z = x + y i$ （ $x, y$ は実数）とおき、これまでの軌跡の問題と同じように $x, y$ の式で平方完成しても、同じ結果が得られます。

手順

等式の形を見る。 $∣ z - α ∣ = r$ （ $r > 0$ ）なら中心 $α$ ・半径 $r$ の円と読む。 $∣ z - α ∣ = ∣ z - β ∣$ （ $α \neq = β$ ）なら 2 点 $α, β$ を結ぶ線分の垂直二等分線と、そのまま読み取る。 $∣ z + 2 i ∣$ は $∣ z - (- 2 i) ∣$ と読み、点 $- 2 i$ からの距離と考える
$∣ z - α ∣ = k ∣ z - β ∣$ （ $k > 0$ , $k \neq = 1$ , $α \neq = β$ ）の形なら、両辺は 0 以上なので両辺を 2 乗する： $∣ z - α ∣^{2} = k^{2} ∣ z - β ∣^{2}$
共役もとって展開する： $∣ z - α ∣^{2} = (z - α) (z ˉ - α ˉ)$ 。 $α$ が虚数なら $α ˉ$ は符号の変わった別の数になることに注意する
移項して整理し、 $z z ˉ$ の係数で割って $z z ˉ - γ ˉ z - γ z ˉ + c = 0$ の形にする。 $z ˉ$ の係数の符号を変えたものを $γ$ として読み取り、両辺に $∣ γ ∣^{2} - c$ を加えて $(z - γ) (z ˉ - γ ˉ) = ∣ γ ∣^{2} - c$ 、すなわち $∣ z - γ ∣^{2} = ∣ γ ∣^{2} - c$ とする（ $z = x + y i$ とおいた場合は $(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = s$ の形にし、 $γ = a + bi$ とする）
右辺 $s = ∣ γ ∣^{2} - c$ の符号を確かめて図形を答える。 $s > 0$ なら中心 $γ$ ・半径 $s$ の円になる。 $s = 0$ なら点 $γ$ の 1 点だけ、 $s < 0$ なら満たす点はない

例題

複素数平面上で、等式 $∣ z - 2 i ∣ = 2∣ z + i ∣$ を満たす点 $z$ は円を描く。この円の中心を表す複素数と半径を、順に求めよ。

例題の解答

【手順1】 $∣ z + i ∣ = ∣ z - (- i) ∣$ なので、点 $z$ から点 $2 i$ までの距離は、点 $- i$ までの距離の 2 倍です。 $2 i \neq = - i$ で、比は $2 : 1$ なので $1$ ではありません。よって円になりますが、中心と半径はこのままでは読めないので計算します。
【手順2】両辺は 0 以上なので、両辺を 2 乗して $∣ z - 2 i ∣^{2} = 4∣ z + i ∣^{2}$ とします。
【手順3】 $2 i$ の共役は $- 2 i$ 、 $- i$ の共役は $i$ です。よって
$∣ z - 2 i ∣^{2} = (z - 2 i) (z ˉ + 2 i) = z z ˉ + 2 i z - 2 i z ˉ + 4$
$4∣ z + i ∣^{2} = 4 (z + i) (z ˉ - i) = 4 z z ˉ - 4 i z + 4 i z ˉ + 4$
となります。これらが等しいので $z z ˉ + 2 i z - 2 i z ˉ + 4 = 4 z z ˉ - 4 i z + 4 i z ˉ + 4$ です。
【手順4】移項すると $3 z z ˉ - 6 i z + 6 i z ˉ = 0$ です。 $z z ˉ$ の係数 3 で割ると $z z ˉ - 2 i z + 2 i z ˉ = 0$ になります。 $z ˉ$ の係数は $2 i$ なので、その符号を変えて $γ = - 2 i$ とします。このとき $γ ˉ = 2 i$ で、 $z$ の係数 $- 2 i = - γ ˉ$ とも合っています。 $c = 0$ なので、両辺に $∣ γ ∣^{2} = 4$ を加えます。
$z z ˉ - 2 i z + 2 i z ˉ + 4 = 4$
左辺は $(z + 2 i) (z ˉ - 2 i)$ と因数分解できるので、 $∣ z + 2 i ∣^{2} = 4$ です。
（確認） $z = x + y i$ とおくと $x^{2} + (y - 2)^{2} = 4 {x^{2} + (y + 1)^{2}}$ です。整理すると $x^{2} + y^{2} + 4 y = 0$ 、つまり $x^{2} + (y + 2)^{2} = 4$ となり、同じ結果が得られます。
【手順5】右辺は $4 > 0$ なので円です。 $∣ z - (- 2 i) ∣ = 2$ より、中心 $- 2 i$ 、半径 $2$ の円を描きます。

答え: $(- 2 i, 2)$

よくある誤り

$∣ z + 2 i ∣ = 2$ の中心を $2 i$ としてしまう誤り。正しくは $∣ z + 2 i ∣ = ∣ z - (- 2 i) ∣$ なので、中心は $- 2 i$ である
2 乗するときに係数を 2 乗し忘れて、 $∣ z - 2 i ∣^{2} = 2∣ z + i ∣^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $∣ z - 2 i ∣^{2} = 2^{2} ∣ z + i ∣^{2} = 4∣ z + i ∣^{2}$
$∣ z - 2 i ∣^{2}$ を $(z - 2 i)^{2}$ や $(z - 2 i) (z ˉ - 2 i)$ と展開してしまう誤り。正しくは、 $2 i$ の共役 $- 2 i$ も使って $∣ z - 2 i ∣^{2} = (z - 2 i) (z ˉ + 2 i)$ とする
$z z ˉ - 2 i z + 2 i z ˉ = 0$ から、 $z$ の係数の符号を変えて $γ = 2 i$ と読み、 $∣ z - 2 i ∣ = 2$ としてしまう誤り。正しくは $z ˉ$ の係数 $2 i$ の符号を変えて $γ = - 2 i$ とし、 $(z + 2 i) (z ˉ - 2 i) = 4$ とする。また、整理した右辺が $0$ なら 1 点、負なら図形なしなので、円と答える前に右辺が正であることを確かめる

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

一次分数変換による円・直線の像（大学院数学複素解析・リーマン面）