複素数平面の問題

$\omega =\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ とおく。点 $\mathrm{A}(3)$ を中心とする $\frac{\pi }{3}$ の回転は
$$\gamma -3=\omega (\alpha -3)$$
で表されるので
$$\gamma =3-3\omega +\omega \alpha$$
となる。ここで
$$3-3\omega =3-\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i=\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i$$
である。これを $c$ とおくと $\gamma =c+\omega \alpha$ だから
$$|\gamma -c|=|\omega ||\alpha |=1\cdot 1=1$$
となる。

$\alpha$ が単位円周上を一周すると $\omega \alpha$ も単位円周上を一周する。よって点 $\mathrm{Q}$ は、点 $\mathrm{C}(c)$ を中心とする半径 $1$ の円周全体を動く。

次に $\mathrm{BC}$ を求める。
$$c-(-3)=\frac{9}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i$$
より
$$\mathrm{BC}=\sqrt{\frac{81}{4}+\frac{27}{4}}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$
である。

三角不等式より $\mathrm{BQ}\le \mathrm{BC}+\mathrm{CQ}=3\sqrt{3}+1$ が成り立つ。等号は、$\mathrm{Q}$ が直線 $\mathrm{BC}$ 上で $\mathrm{C}$ に関して $\mathrm{B}$ と反対側にあるときに成り立ち、そのような点は円周上に存在する。

したがって、$\mathrm{BQ}$ の最大値は $3\sqrt{3}+1$ である。

回転の式より $\gamma -3=(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3})(\alpha -3)$。$\omega =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ とおくと $\gamma =\omega \alpha +3(1-\omega )$。$1-\omega =\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i=\bar{\omega }$ なので $\gamma =\omega \alpha +3\bar{\omega }$。

$|\alpha |=1$ だから、Q は中心 $3\bar{\omega }=\frac{3}{2}-\frac{3\sqrt{3}}{2}i$、半径 1 の円周上を動く。

B$(-3)$ とこの円の中心との距離は、${\left(-3-\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{3\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{81}{4}+\frac{27}{4}=27$ より $\sqrt{27}=3\sqrt{3}$。

よって BQ の最大値は $3\sqrt{3}+1$。

検算：$\alpha$ を中心から B への向きの反対側にとれば等号が成り立つ。中心と B の距離が $3\sqrt{3}>1$ なので、最大値は中心間距離＋半径で確かに達成される。