複素数平面の問題

考え方　点 $\mathrm{A}(\alpha )$ を中心に、点 $\mathrm{B}(\beta )$ を角 $\theta$ だけ回転し、$\mathrm{A}$ からの距離を $r$ 倍した点 $\mathrm{C}(\gamma )$ は、次の式で表されます。
$$\gamma -\alpha =r(\cos \theta +i\sin \theta )(\beta -\alpha )$$
$\beta -\alpha$ は $\mathrm{A}$ を原点とみたときの $\mathrm{B}$ の位置です。これに $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ を掛けると、絶対値は $r$ 倍になり、偏角は $\theta$ 増えます。

手順 1：掛ける複素数を求める　$r=\sqrt{2}$, $\theta =\frac{\pi }{4}$ なので
$$\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i\right)=1+i$$

手順 2：$\mathrm{A}$ を原点とみた $\mathrm{B}$ の位置
$$\beta -\alpha =(3+2i)-(1+i)=2+i$$

手順 3：回転と拡大を行う
$$\gamma -\alpha =(1+i)(2+i)=2+i+2i+i^2=2+3i-1=1+3i$$

手順 4：$\alpha$ を足して元に戻す
$$\gamma =(1+3i)+(1+i)=2+4i$$

（確認：$|\gamma -\alpha |=|1+3i|=\sqrt{10}$、$|\beta -\alpha |=|2+i|=\sqrt{5}$ で、確かに $\sqrt{2}$ 倍になっています。）

よって $\gamma =2+4i$ です。

B−A = (3+2i)−(1+i) = 2+i。回転角 π/4、拡大率 √2 の変換は、複素数 cos(π/4)+i sin(π/4) に √2 を掛けることにあたる。√2(cos(π/4)+i sin(π/4)) = √2·(1+i)/√2 = 1+i。よって γ−A = (1+i)(2+i) = 2+i+2i+i² = 1+3i。したがって γ = (1+i)+(1+3i) = 2+4i。検算：|γ−A| = √10 = √2·|B−A| = √2·√5 で一致する。偏角の差は、(1+3i)/(2+i) = (1+3i)(2−i)/5 = (2−i+6i+3)/5 = 1+i で、偏角は π/4 となり一致する。