複素数と図形（回転・相似）

複素数の積を回転と拡大として使い、点の回転・正三角形の頂点・2 直線のなす角を求められる

前提

極形式と積・商（数学C 複素数平面）
ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）

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算数中学高校大学大学院

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ベクトルの演算と成分（数学C ベクトル）

説明

複素数平面では、点を複素数で表します。複素数を掛けると、点は原点のまわりに回転し、同時に原点からの距離が拡大または縮小されます。この性質を使うと、ある点のまわりに点を回転した先、正三角形の残りの頂点、2 直線のなす角などを計算で求められます。三角形の合同を使った作図や、座標の面倒な計算は必要ありません。

なぜそうしてよいのか

複素数 $z = x + y i$ を点 $(x, y)$ と見ると、複素数の和と差はベクトルの和と差と同じ計算になります。特に $z - α$ は「点 $α$ から点 $z$ へ向かうベクトル」を表します。また、極形式の積の性質から、 $z$ に $r (cos θ + i sin θ)$ $(r > 0)$ を掛けると、絶対値は $r$ 倍になり、偏角には $θ$ が加わります。つまり点 $z$ は、原点のまわりに $θ$ だけ回転し、原点からの距離が $r$ 倍になります。 $r = 1$ なら回転だけです。

原点以外の点 $α$ を中心に回すときは、3 段階で考えます。
1. 平行移動して $α$ を原点に移す： $z - α$
2. 原点のまわりで回転・拡大する： $r (cos θ + i sin θ) (z - α)$
3. $α$ を足して元の位置に戻す

こうして、点 $z$ を点 $α$ のまわりに $θ$ 回転し、 $α$ からの距離を $r$ 倍した点 $w$ は $w = α + r (cos θ + i sin θ) (z - α)$ となります。 $r = 1, θ = \pm \frac{π}{3}$ とすると、線分の一方の端を中心にもう一方の端を $\frac{π}{3}$ 回すことになるので、正三角形の残りの頂点が得られます。

この式は逆向きにも使えます。3 点 $A (α), B (β), C (γ)$ （ $β \neq = α, γ \neq = α$ ）について、商 $\frac{γ - α}{β - α}$ を極形式 $r (cos θ + i sin θ)$ で表したとします。このとき $γ - α = r (cos θ + i sin θ) (β - α)$ なので、 $AB$ を $θ$ 回転して $r$ 倍したものが $AC$ です。したがって偏角 $θ$ は、 $AB$ から $AC$ へ向きをつけて測った角です。 $- π < θ ≦ π$ にとれば、 $∠ BAC = ∣ θ ∣$ になります。特に、商が実数なら 3 点は一直線上にあり、商が $0$ でない純虚数なら $AB ⊥ AC$ です。

手順

中心の点 $α$ 、回転角 $θ$ 、拡大率 $r$ を読み取る。反時計回りを正とし、時計回りなら角を $- θ$ とする。回転だけなら $r = 1$ とする
中心が原点に来るように平行移動し、 $z - α$ を計算する
$z - α$ に $r (cos θ + i sin θ)$ を掛ける。 $cos θ, sin θ$ に具体的な値を入れて展開し、 $i^{2} = - 1$ で整理する
$α$ を足して元の位置に戻す。 $w = α + r (cos θ + i sin θ) (z - α)$ が求める点である
角を求めたいときは逆に、 $\frac{γ - α}{β - α}$ を計算して極形式に直す。その偏角が、 $AB$ から $AC$ へ測った角である

例題

複素数平面上で、点 $z = 3 + 4 i$ を、点 $α = 1 + 2 i$ を中心として反時計回りに $\frac{π}{3}$ だけ回転した点を表す複素数を求めよ。

例題の解答

【手順1】中心は $α = 1 + 2 i$ 、回転角は $θ = \frac{π}{3}$ （反時計回りなので正）です。回転だけなので $r = 1$ です。

【手順2】中心を原点に移します。 $z - α = (3 + 4 i) - (1 + 2 i) = 2 + 2 i$

【手順3】 $cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3} = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} i$ を掛けます。 $(2 + 2 i) (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i) = 1 + 3 i + i + 3 i^{2} = (1 - 3) + (1 + 3) i$

【手順4】 $α$ を足して元の位置に戻します。 $w = (1 + 2 i) + {(1 - 3) + (1 + 3) i} = (2 - 3) + (3 + 3) i$

（確かめ： $w - α = (1 - 3) + (1 + 3) i$ より $∣ w - α ∣^{2} = (1 - 3)^{2} + (1 + 3)^{2} = 8$ です。一方、 $∣ z - α ∣^{2} = 2^{2} + 2^{2} = 8$ なので、回転の前後で中心からの距離は変わっていません。）

よって、求める点は $(2 - 3) + (3 + 3) i$ です。

答え: $(2 - 3) + (3 + 3) i$

よくある誤り

中心 $α$ を引かずに $(cos θ + i sin θ) z$ を計算してしまう誤り。これは原点を中心とした回転になる。正しくは、先に $z - α$ を作って $w = α + (cos θ + i sin θ) (z - α)$ とする。
回転したあとに $α$ を足し忘れ、 $(cos θ + i sin θ) (z - α)$ を答えにしてしまう誤り。これは点 $α$ から点 $w$ へ向かうベクトルにすぎない。正しくは、最後に $α$ を加える。
時計回りの回転でも $cos θ + i sin θ$ を掛けてしまう誤り。正しくは $cos (- θ) + i sin (- θ) = cos θ - i sin θ$ を掛ける。また、2 点 $α, β$ を頂点とする正三角形の残りの頂点は、向きの指定がなければ $α + (\frac{1}{2} \pm \frac{3}{2} i) (β - α)$ の 2 つある。
角を求めるときに $\frac{γ}{β}$ の偏角を計算してしまう誤り。これは原点から見た角になる。正しくは、頂点 $α$ を引いた $\frac{γ - α}{β - α}$ の偏角を求める。また、分母と分子を逆にすると、得られる角の符号が逆になる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

三相交流の Y 結線と Δ 結線（大学物理電力・電気機器）