線間電圧の実効値が の対称三相交流電源に、抵抗値 の抵抗 3 個を Δ 結線した平衡負荷をつなぐ。電線の抵抗は無視できるものとする。
このとき、負荷に流れこむ線電流の実効値は何 A か。根号を含む正確な値で答えよ。
三相交流の Y 結線と Δ 結線
対称三相交流で、Y 結線の線間電圧 相電圧、Δ 結線の線電流 相電流 の関係を使い、平衡負荷の相電圧・相電流・線電流の大きさを求められる
前提
- 複素数と図形（回転・相似） （数学C 複素数平面）
- 交流の発生と実効値 （高校物理 電磁気と交流）
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- 交流の発生と実効値 （高校物理 電磁気と交流）
説明
対称三相交流は、大きさと周波数が等しく位相が ずつずれた 3 つの交流電圧の組で、発電所から工場・家庭への送電やモーターの駆動に広く使われています。3 つの電源や負荷のつなぎ方には、3 つの一端を 1 点（中性点）にまとめる Y 結線と、3 つを輪のようにつなぐ Δ 結線があります。各相の素子にかかる電圧・流れる電流（相電圧・相電流）と、3 本の電線どうしの電圧・電線を流れる電流（線間電圧・線電流）の間には、Y 結線では「線間電圧 相電圧（線電流 相電流）」、Δ 結線では「線電流 相電流（線間電圧 相電圧）」という関係があり、これを使うと平衡負荷（3 相とも同じ負荷）の電圧・電流の大きさを求められます。
なぜそうしてよいのか
同じ角周波数 の正弦波 は、複素数平面上で長さ 、偏角 の点を回転させたときの虚部と見なせます。同じ で回る点どうしの和・差は、時刻 での複素数（長さ 、偏角 ）の和・差をそのまま回したものになるので、正弦波の足し引きは、この複素数の足し引きに置き換えられます（以下、虚数単位を電流の記号 と区別して と書きます）。結果の複素数の絶対値が足し引きした正弦波の振幅で、実効値はすべて振幅の 倍なので、大きさの比は振幅でも実効値でも同じです。
Y 結線では、中性点から各端子までの相電圧が 、、 と表せます。端子 a・b の間の線間電圧はその差で
その絶対値は 、偏角は です。図形で見ると、中性点と 2 つの相電圧の先端が頂角 （）の二等辺三角形をつくり、その底辺が線間電圧なので、長さは になります。Y 結線では電線を流れる電流はそのまま 1 つの相を流れるので、線電流 相電流です。
Δ 結線では役割が入れかわります。各相の素子は 2 本の電線の間に直接つながるので相電圧 線間電圧ですが、1 本の電線がつながる端子には 2 つの相が接続されているので、キルヒホッフの第 1 法則より線電流は 2 つの相電流の差 になります。相電流も大きさが等しく位相が ずつずれているので、Y 結線の電圧と同じ計算で線電流の大きさは相電流の 倍です。
手順
結線の種類（Y か Δ か）と、与えられた量が線間電圧・相電圧・線電流・相電流のどれかを確認する
相電圧を求める。Y 結線: 相電圧 、Δ 結線: 相電圧 線間電圧
1 相分の負荷について、オームの法則で相電流 を求める（平衡負荷なので 3 相とも同じ）
線電流を求める。Y 結線: 線電流 相電流、Δ 結線: 線電流 相電流
必要なら、3 相分の消費電力を （実効値、抵抗負荷のとき）で求める
例題
線間電圧の実効値が の対称三相交流電源に、抵抗値 の抵抗 3 個を Δ 結線した平衡負荷をつなぐ。電線の抵抗は無視できるとする。線電流の実効値は何 A か。根号を含む正確な値で求めよ。
例題の解答
手順 1: 負荷は Δ 結線で、与えられているのは線間電圧 。求めるのは線電流。
手順 2: Δ 結線では各抵抗が 2 本の電線の間に直接つながるので、相電圧 線間電圧 。
手順 3: オームの法則より、相電流 。
手順 4: Δ 結線では線電流は 2 つの相電流の差で、大きさは相電流の 倍。よって線電流 。
手順 5: （参考）消費電力は で、 とも一致する。
答え:
よくある誤り
線間電圧を 2 つの相電圧の大きさの和や差として、Y 結線で線間電圧 相電圧（または ）としてしまう誤り。2 つの相電圧は位相が ずれているので複素数の差で考え、正しくは 。
Y 結線と Δ 結線の関係を取り違え、Δ 結線で相電圧 としてしまう誤り。例題では相電圧 、線電流 と誤る。Δ 結線では素子が線間に直接つながるので、正しくは相電圧 線間電圧 、線電流 。
Y 結線でも線電流を相電流の 倍にしてしまう誤り。Y 結線では電線の電流がそのまま 1 つの相を流れるので、正しくは線電流 相電流。 倍になるのは Y 結線では電圧、Δ 結線では電流だけである。
三相の消費電力を としてしまう誤り。抵抗負荷では正しくは 。
この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。
入口の問題
この技能を使う問題
線間電圧の大きさが の対称三相交流電源（周波数一定、内部インピーダンスは無視する）に、次の 2 つの平衡三相負荷を並列に接続する。
- 負荷 A：抵抗 と誘導性リアクタンス を直列にしたものを 1 相分とし、Y 結線にしたもの
- 負荷 B：容量性リアクタンス のコンデンサを 1 相分とし、Δ 結線にしたもの
電源と負荷を結ぶ電線のインピーダンスは無視する。電源から流れ出る線電流の大きさ を整数で求めよ。
極数 の三相かご形誘導電動機を、周波数 、線間電圧 の対称三相電源に接続して運転する。固定子巻線は Y 結線である。この電動機を 1 相あたりの簡易等価回路（L 形等価回路）で表す。励磁回路（励磁アドミタンス）は無視し、定数は次のとおりとする（二次側の量は一次側に換算した値）。
- 一次巻線抵抗:
- 二次巻線抵抗:
- 漏れリアクタンスの和:
ある負荷のもとで、回転子の回転速度は であった。このとき電動機が発生するトルク（電磁トルク）の大きさは何 か。 を含む正確な値で答えよ。
線間電圧の大きさが の対称三相交流電源（周波数一定、内部インピーダンスは無視する）に、次の 2 つの平衡三相負荷を並列に接続した。線路のインピーダンスは無視する。
- 負荷 A: 各相の抵抗が の Y 結線負荷
- 負荷 B: 各相の誘導性リアクタンスが （抵抗分なし）の Δ 結線負荷
このとき、電源から流れ出る線電流の大きさ（実効値）は何 A か。根号を含む正確な値で求めよ。
線間電圧の大きさ 、周波数 の対称三相交流電源（相順は a→b→c、内部インピーダンスは無視する）に、誘導性（遅れ力率）の平衡三相負荷が三相 3 線式で接続されている。線路のインピーダンスは無視する。
この負荷の電力を二電力計法で測定した。電力計 は電流コイルを線 a に入れ、電圧コイルを線 a と線 b の間に接続した。電力計 は電流コイルを線 c に入れ、電圧コイルを線 c と線 b の間に接続した。指示値は 、 であった。電力計は理想的とする。
次に、この負荷と並列に、静電容量がすべて等しい 3 個のコンデンサを Δ 結線して接続し、電源から見た総合力率を にしたい。コンデンサは損失のない理想的なものとし、電源電圧と負荷の状態は変わらないものとする。コンデンサ 1 個あたりの静電容量を 単位で求めよ。答えは と根号を含む正確な値で答えよ。
対称三相交流電源（相順は正、線間電圧の大きさ 、周波数一定、内部インピーダンスは無視する）から、三相 3 線式の線路を通して 2 つの平衡三相負荷に電力を送る。線路の各線のインピーダンスは であり、線路の静電容量や線間の相互インダクタンスは無視する。線路の受電端には、次の 2 つの負荷が並列に接続されている。
- 負荷 A: 1 相あたりのインピーダンスが の Y 結線負荷
- 負荷 B: 1 相あたりのインピーダンスが の Δ 結線負荷
回路全体は平衡しているものとする。このとき、負荷 B の各相（Δ 結線の 1 辺）に流れる電流の大きさ [A] を、根号を用いた正確な値で求めよ。
線間電圧の大きさが の対称三相交流電源（周波数一定、相順は a→b→c、すなわち線間電圧 は より位相が 進む）の 3 本の線 a, b, c に、中性線のない Y 結線の不平衡負荷をつなぐ。負荷の中性点を N′ とし、a と N′ の間にはコンデンサ（リアクタンスの大きさ ）、b と N′ の間と c と N′ の間にはそれぞれ抵抗 をつなぐ。電源の内部インピーダンスと線路のインピーダンスは無視し、コンデンサは理想的（損失なし）とする。
b–N′ 間の抵抗で消費される電力 と、c–N′ 間の抵抗で消費される電力 を、この順に組 で求めよ。値は根号を用いた正確な値で答えよ。
この技能の次に学べること
- 三相電力 （大学物理 電力・電気機器）
- Δ-Y 変換と一相分の等価回路 （大学物理 電力・電気機器）