熱量と比熱・熱容量

$Q = m c Δ T$ 、 $Q = C Δ T$ を使って、物体の温度変化に必要な熱量や比熱・熱容量を求められる。電熱線の発熱 $Q = P t$ も熱量として扱える

前提

電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）

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算数中学高校大学大学院

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電熱線の発熱量と水の温度上昇（中学理科電流と電圧）
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文字式の計算（同類項・分配法則）（中学数学数と式）
1 次方程式の解き方（中学数学方程式）

説明

物体の温度を何度上げる（下げる）のに、どれだけの熱量が出入りするかを計算できるようになります。 $Q = m c Δ T$ または $Q = C Δ T$ を使うと、熱量・比熱・熱容量・温度変化のうち、わからない 1 つを求められます。電熱線（ヒーター）が出す熱量は $Q = P t$ で求められるので、「ヒーターで水を温める」ような場面にもそのまま使えます。

なぜそうしてよいのか

同じ物質なら、温度を $1 K$ 上げるのに必要な熱量は、量が 2 倍なら 2 倍になります。また、同じ物体で温度変化を 2 倍にするには、熱量も 2 倍必要です。つまり、必要な熱量 $Q$ は質量 $m$ にも温度変化 $Δ T$ にも比例します。そこで、物質ごとに「 $1 g$ （または $1 kg$ ）の温度を $1 K$ 上げるのに必要な熱量」を決めておき、これを比熱 $c$ と呼びます（単位は $J/ (g \cdot K)$ や $J/ (kg \cdot K)$ ）。すると、 $m$ だけの量を $Δ T$ だけ温めるには $Q = m c Δ T$ の熱量が必要になります。

物体全体として「温度を $1 K$ 上げるのに必要な熱量」を熱容量 $C$ （単位 $J/K$ ）といいます。1 つの物質でできた物体なら $C = m c$ なので、 $Q = C Δ T$ と書けます。容器や温度計のように質量や物質がはっきりしないものは、熱容量で扱うと便利です。なお、温度差は $1 K$ と $1^{\circ} C$ が同じ大きさなので、 $Δ T$ は $^{\circ} C$ の差で計算してかまいません。

電力 $P$ （単位 $W = J/s$ ）は 1 秒あたりに使われる電気のエネルギーです。電熱線では、そのエネルギーがすべて熱に変わるとすれば、 $t$ 秒間に発生する熱量は $Q = P t$ になります。

手順

温める（冷やす）物体と、与えられた量（質量 $m$ 、比熱 $c$ または熱容量 $C$ 、はじめと終わりの温度）を書き出す
温度変化を求める： $Δ T = (終わりの温度) - (はじめの温度)$ （上がれば正、下がれば負）
単位をそろえる：比熱が $J/ (g \cdot K)$ なら質量は $g$ 、 $J/ (kg \cdot K)$ なら $kg$ 。電熱線の時間は秒にする
式に代入する： $Q = m c Δ T$ 、または $Q = C Δ T$ 。電熱線の発熱は $Q = P t$
求めたいものが $c$ や $C$ や $Δ T$ なら、式を変形して解く（例： $c = \frac{Q}{m Δ T}$ ）。指定された有効数字に丸める

例題

質量 $200 g$ の水を、温度 $20^{\circ} C$ から $50^{\circ} C$ まで温めるのに必要な熱量は何 J か。水の比熱を $4.2 J/ (g \cdot K)$ とし、熱は水以外に逃げないものとする。有効数字 2 桁で答えよ。

例題の解答

手順1：物体は水で、 $m = 200 g$ 、 $c = 4.2 J/ (g \cdot K)$ 、はじめ $20^{\circ} C$ 、終わり $50^{\circ} C$ 。
手順2： $Δ T = 50 - 20 = 30 K$ （ $^{\circ} C$ の差と K の差は同じ）。
手順3：比熱が $g$ 単位なので、質量は $200 g$ のまま使う。
手順4： $Q = m c Δ T = 200 \times 4.2 \times 30 = 25200 J$ 。
手順5：有効数字 2 桁に丸めて $Q \approx 2.5 \times 1 0^{4} J$ 。

答え: $2.5 \times 1 0^{4}$

よくある誤り

温度変化ではなく温度そのものを代入してしまう誤り。例： $Q = 200 \times 4.2 \times 50$ 。正しくは差をとって $Δ T = 50 - 20 = 30 K$ とし、 $Q = 200 \times 4.2 \times 30$ 。
質量と比熱の単位をそろえない誤り。例：比熱 $4.2 \times 1 0^{3} J/ (kg \cdot K)$ に $m = 200$ を代入する。正しくは $m = 0.200 kg$ として $Q = 0.200 \times 4.2 \times 1 0^{3} \times 30$ 。
電熱線の発熱で時間を分のまま使う誤り。例： $100 W$ で $2$ 分間なら $Q = 100 \times 2 = 200 J$ とする。正しくは $t = 120 s$ として $Q = P t = 100 \times 120 = 1.2 \times 1 0^{4} J$ 。
比熱 $c$ と熱容量 $C$ を取り違える誤り。例：熱容量 $C = 50 J/K$ の容器にさらに質量を掛けて $Q = m C Δ T$ とする。正しくは熱容量は物体全体の値なので $Q = C Δ T$ （ $C = m c$ の関係がある）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

熱平衡と熱量の保存（高校物理熱と気体）
電力とジュール熱（高校物理電流と回路）
比熱と温度変化から求める発熱量（高校化学化学反応とエネルギー）
海洋と大気の熱容量の比較（高校地学海洋）
可逆過程のエントロピー変化（大学物理熱力学）
熱交換器の対数平均温度差（大学物理熱工学・伝熱）