熱工学・伝熱の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理熱工学・伝熱

電気ヒーターを内蔵した貯湯タンクを考える。タンク内には質量 $m = 100 kg$ の水が入っており、水の比熱は $c = 4.2 \times 1 0^{3} J/(kg \cdot K)$ で一定とする。水はよくかき混ぜられていて、温度はタンク内で一様とみなす。

タンクの壁（側面・底面・ふたを含む）の伝熱面積は合計 $A = 2.0 m^{2}$ で、壁は内側から順に次の 2 層からなる。壁の厚さはタンクの大きさに比べて十分に小さいので、壁は平板とみなしてよい。

鋼板: 厚さ $2.0 mm$ 、熱伝導率 $16 W/(m \cdot K)$
断熱材: 厚さ $6.0 mm$ 、熱伝導率 $0.040 W/(m \cdot K)$

水と壁の内面との間の熱伝達率は $h_{i} = 250 W/(m^{2} \cdot K)$ 、壁の外面と周囲の空気との間の熱伝達率（放射の効果も含めた値）は $h_{o} = 10 W/(m^{2} \cdot K)$ で、いずれも壁全体で一様かつ一定とする。周囲の空気の温度は $20^{\circ} C$ で一定である。壁の熱容量は無視し、壁の中の熱の流れは各瞬間において定常とみなす（準定常近似）。

はじめ水の温度は $20^{\circ} C$ であった。時刻 $t = 0$ にヒーターを入れ、一定の電力 $P = 500 W$ をすべて水に与え続ける。水の温度が $60^{\circ} C$ に達する時刻は、ヒーターを入れてから何時間後か。有効数字 3 桁で求めよ。

この問題で使うもの

対流熱伝達と熱通過率（説明と入口の問題）
平板の熱伝導と熱抵抗（説明と入口の問題）
熱量と比熱・熱容量（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（39 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず水から周囲の空気までの熱抵抗（内面の対流・鋼板・断熱材・外面の対流）を直列に足して熱通過率 $U$ を求め、次に水全体のエネルギー収支の微分方程式を立てる。

ヒント 2

$\frac{1}{U} = \frac{1}{h _{i}} + \frac{L _{1}}{k _{1}} + \frac{L _{2}}{k _{2}} + \frac{1}{h _{o}}$ 、エネルギー収支は $m c \frac{d T}{d t} = P - U A (T - T_{\infty})$ 。

ヒント 3

$\frac{1}{U} = 0.254125 m^{2} \cdot K/W$ で、 $θ = T - T_{\infty}$ とおくと $θ (t) = \frac{P}{U A} (1 - e^{- t / τ})$ 、 $τ = \frac{m c}{U A}$ 。 $\frac{P}{U A} = 63.53 K$ を使って $θ = 40 K$ となる時刻を求める。

答えと解説

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14.7

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解説を読む

1. 熱通過率の計算

水から周囲の空気までの熱の通り道は、内面の対流、鋼板の熱伝導、断熱材の熱伝導、外面の対流の 4 つの熱抵抗の直列である。単位面積あたりの熱抵抗を足し合わせると
$\frac{1}{U} = \frac{1}{h _{i}} + \frac{L _{1}}{k _{1}} + \frac{L _{2}}{k _{2}} + \frac{1}{h _{o}}$
$= \frac{1}{250} + \frac{0.0020}{16} + \frac{0.0060}{0.040} + \frac{1}{10} = 0.004 + 0.000125 + 0.15 + 0.1 = 0.254125 m^{2} \cdot K/W$
よって
$U A = \frac{A}{1/ U} = \frac{2.0}{0.254125} \approx 7.870 W/K$

2. 水のエネルギー収支

水の温度を $T$ 、周囲の温度を $T_{\infty} = 20^{\circ} C$ とする。壁の熱容量を無視し準定常とみなすので、各瞬間に壁を通って逃げる熱流量は $U A (T - T_{\infty})$ である。水は一様温度なので、水全体のエネルギー収支は
$m c \frac{d T}{d t} = P - U A (T - T_{\infty})$
$θ = T - T_{\infty}$ とおき、 $θ_{s} = \frac{P}{U A}$ （十分時間がたったときの到達温度差）、 $τ = \frac{m c}{U A}$ （時定数）とすると
$τ \frac{d θ}{d t} = θ_{s} - θ$
初期条件 $θ (0) = 0$ のもとで解くと
$θ (t) = θ_{s} (1 - e^{- t / τ})$
$θ = θ_{1}$ となる時刻は
$t_{1} = τ lo g \frac{θ _{s}}{θ _{s} - θ _{1}}$

3. 数値の代入

$θ_{s} = \frac{P}{U A} = \frac{500 \times 0.254125}{2.0} = 63.53125 K$
$τ = \frac{m c}{U A} = \frac{100 \times 4.2 \times 1 0 ^{3} \times 0.254125}{2.0} = 5.3366 \times 1 0^{4} s$
$θ_{1} = 60 - 20 = 40 K$ なので
$\frac{θ _{s}}{θ _{s} - θ _{1}} = \frac{63.53125}{23.53125} \approx 2.6999, lo g 2.6999 \approx 0.9932$
$t_{1} \approx 5.3366 \times 1 0^{4} \times 0.9932 \approx 5.300 \times 1 0^{4} s$
時間に直すと
$t_{1} \approx \frac{5.300 \times 1 0 ^{4}}{3600} \approx 14.7 h$

（参考: 熱損失がなければ $m c θ_{1} / P = 3.36 \times 1 0^{4} s \approx 9.3 h$ で済むので、壁からの熱損失の影響が大きいことがわかる。）

答え: $14.7$ 時間後

別解

壁の単位面積あたりの熱抵抗（準定常なので直列和）は
$R^{'} = \frac{1}{h _{i}} + \frac{0.002}{16} + \frac{0.006}{0.040} + \frac{1}{h _{o}} = 0.004 + 0.000125 + 0.15 + 0.1 = 0.254125 m^{2} K/W$ 。
全体の熱コンダクタンスは $U A = A / R^{'} = 2.0/0.254125 = 7.8706 W/K$ 。

水の温度を $T$ 、周囲温度を $T_{0} = 20^{\circ} C$ 、 $θ = T - T_{0}$ とすると、エネルギー収支は
$m c \frac{d θ}{d t} = P - U A θ$ 。

解は $θ = θ_{\infty} (1 - e^{- t / τ})$ 。ここで
$θ_{\infty} = P / U A = 500 \times 0.254125/2.0 = 63.531 K$ 、
$τ = m c / U A = 4.2 \times 1 0^{5} \times 0.254125/2.0 = 5.3366 \times 1 0^{4} s$ 。

$θ = 40 K$ となる時刻は
$t = - τ ln (1 - \frac{40}{63.531}) = - τ ln (0.37039) = 5.3366 \times 1 0^{4} \times 0.99320 = 5.300 \times 1 0^{4} s$ 。

時間に直すと $t = 5.300 \times 1 0^{4} /3600 = 14.72 h \approx 14.7 h$ 。

検算： $θ_{\infty} (1 - e^{- 0.99320}) = 63.531 \times (1 - 0.37039) = 63.531 \times 0.62961 = 40.0$ で一致する。
（放熱がなければ $t = 420000 \times 40/500 = 33600 s = 9.3 h$ であり、放熱があるのでそれより長くなる。）

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