熱工学・伝熱の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理熱工学・伝熱

十分に広い平板状の建物の外壁が、室内側から順に次の 2 層でできている。

断熱材層: 厚さ $0.050 m$ 、熱伝導率 $0.040 W/(m \cdot K)$
コンクリート層: 厚さ $0.15 m$ 、熱伝導率 $1.5 W/(m \cdot K)$

室内の空気の温度は $20^{\circ} C$ 、屋外の空気の温度は $- 10^{\circ} C$ で一定である。室内側の壁面の熱伝達率は $10 W/(m^{2} \cdot K)$ 、屋外側の壁面の熱伝達率は $20 W/(m^{2} \cdot K)$ とする。熱は壁に垂直な方向にだけ流れる定常な 1 次元熱伝導とみなし、2 層の接触面の接触熱抵抗と放射による熱移動は無視する。また、熱伝導率と熱伝達率は温度によらず一定とする。

このとき、断熱材層とコンクリート層の境界面の温度は何 $^{\circ} C$ か。正確な値で求めよ。

この問題で使うもの

対流熱伝達と熱通過率（説明と入口の問題）
平板の熱伝導と熱抵抗（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

定常状態では各層・各境界を通る熱流束はすべて等しい。対流熱伝達を $1/ h$ 、熱伝導を $L / k$ の熱抵抗とみなして直列につなごう。

ヒント 2

熱通過率は $K = \frac{1}{\frac{1}{h _{i}} + \frac{L _{1}}{k _{1}} + \frac{L _{2}}{k _{2}} + \frac{1}{h _{o}}}$ 、熱流束は $q = K (T_{in} - T_{out})$ 。ある区間の温度差は（熱流束）×（その区間の熱抵抗）である。

ヒント 3

熱抵抗の合計は $1.50 m^{2} \cdot K/W$ で、熱流束は $q = 20 W/m^{2}$ になる。室内空気から境界面までの熱抵抗 $R_{i} + R_{1}$ による温度降下を求めよう。

答えと解説

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解説を読む

定常状態では、壁の単位面積を通る熱流束 $q$ は、室内空気 → 室内側壁面 → 断熱材 → コンクリート → 屋外側壁面 → 屋外空気のどの区間でも等しい（途中で熱が蓄えられたり発生したりしないため）。そこで各区間を単位面積あたりの熱抵抗の直列接続として扱う。

各区間の熱抵抗（単位 $m^{2} \cdot K/W$ ）
- 室内側の対流熱伝達: $R_{i} = \frac{1}{h _{i}} = \frac{1}{10} = 0.10$
- 断熱材層の熱伝導（フーリエの法則）: $R_{1} = \frac{L _{1}}{k _{1}} = \frac{0.050}{0.040} = 1.25$
- コンクリート層の熱伝導: $R_{2} = \frac{L _{2}}{k _{2}} = \frac{0.15}{1.5} = 0.10$
- 屋外側の対流熱伝達: $R_{o} = \frac{1}{h _{o}} = \frac{1}{20} = 0.05$

合計は
$R = R_{i} + R_{1} + R_{2} + R_{o} = 0.10 + 1.25 + 0.10 + 0.05 = 1.50 m^{2} \cdot K/W$
であり、熱通過率は $K = \frac{1}{R} = \frac{2}{3} W/(m^{2} \cdot K)$ 。

熱流束
$q = K (T_{in} - T_{out}) = \frac{2}{3} \times {20 - (- 10)} = 20 W/m^{2} .$

境界面の温度 室内空気から境界面までには $R_{i}$ と $R_{1}$ が直列に並ぶので、その区間の温度降下は
$q (R_{i} + R_{1}) = 20 \times (0.10 + 1.25) = 27 K .$
よって境界面の温度は
$T = 20 - 27 = - 7^{\circ} C .$

（検算: 屋外側から求めると、境界面から屋外空気までの温度降下は $q (R_{2} + R_{o}) = 20 \times 0.15 = 3 K$ で、 $- 10 + 3 = - 7^{\circ} C$ と一致する。）

別解

単位面積あたりの熱抵抗を求める。
室内側の熱伝達: $R_{1} = \frac{1}{10} = 0.10 m^{2} K/W$
断熱材層: $R_{2} = \frac{0.050}{0.040} = 1.25 m^{2} K/W$
コンクリート層: $R_{3} = \frac{0.15}{1.5} = 0.10 m^{2} K/W$
屋外側の熱伝達: $R_{4} = \frac{1}{20} = 0.05 m^{2} K/W$
合計 $R = 0.10 + 1.25 + 0.10 + 0.05 = 1.50 m^{2} K/W$ 。

定常なので熱流束は一定で、 $q = \frac{20 - ( - 10 )}{1.50} = 20 W/ m^{2}$ 。
室内側壁面温度: $T_{1} = 20 - q R_{1} = 20 - 2 = 18^{\circ} C$ 。
断熱材とコンクリートの境界面温度: $T_{2} = T_{1} - q R_{2} = 18 - 20 \times 1.25 = 18 - 25 = - 7^{\circ} C$ 。
検算: 屋外側から計算すると、屋外側壁面温度 $= - 10 + 20 \times 0.05 = - 9$ 、コンクリート層を通って $- 9 + 20 \times 0.10 = - 7^{\circ} C$ となり一致する。

よって境界面の温度は $- 7^{\circ} C$ 。

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