熱工学・伝熱

建物の壁が、厚さ $0.20\mathrm{m}$、熱伝導率 $0.80W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ のコンクリート層と、厚さ $0.050\mathrm{m}$、熱伝導率 $0.040W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ の断熱材層を密着させて重ねた 2 層の平板でできている。壁の室内側の表面温度は $25{}^{\circ }\mathrm{C}$、屋外側の表面温度は $-5{}^{\circ }\mathrm{C}$ で一定に保たれている。定常状態で壁を通る熱流束（単位面積あたりの熱流量）は何 $W/{\mathrm{m}}^2$ か。整数で答えよ。ただし、熱は壁の厚さ方向にだけ 1 次元的に流れ、2 層の間の接触熱抵抗は無視でき、熱伝導率は温度によらず一定とする。

表面温度 $T=500\text{K}$ に保たれた金属板の表面は、放射率 $\epsilon =0.60$ の灰色面とみなせる。この表面から単位面積・単位時間あたりに放射されるエネルギー（放射能）は何 ${\text{W/m}}^2$ か。有効数字 3 桁で答えよ。ただし、ステファン・ボルツマン定数を $\sigma =5.67\times 10^{-8}{\text{W/(m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$ とする。

蒸気タービンに、比エンタルピー $h_1=3200\text{kJ/kg}$ の水蒸気が質量流量 $\dot{m}=5.0\text{kg/s}$ で定常的に流入し、比エンタルピー $h_2=2600\text{kJ/kg}$ で流出する。タービンは断熱されており、入口と出口での運動エネルギーと位置エネルギーの差は無視できるものとする。このタービンが外部にする仕事の仕事率（出力）は何 kW か。整数で答えよ。

作動流体を空気とする空気標準オットーサイクル（断熱圧縮 → 定積加熱 → 断熱膨張 → 定積放熱）がある。圧縮比は $\epsilon =10$、空気の比熱比は $\kappa =1.4$ である。このサイクルの理論熱効率を求めよ。答えは小数で、有効数字 3 桁で答えよ。ただし、空気は比熱が一定の理想気体とみなし、各過程は可逆とする。

厚さ $L=0.060\mathrm{m}$、熱伝導率 $k=1.2W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ の平らな壁が、温度 $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ の室内の空気と温度 $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ の屋外の空気を隔てている。室内側の熱伝達率は $h_1=10W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$、屋外側の熱伝達率は $h_2=20W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ である。定常状態で、室内の空気から屋外の空気へ壁を通って流れる熱流束（単位面積あたりの熱流量）は何 $W/{\mathrm{m}}^2$ か。整数で答えよ。ただし、熱は壁の厚さ方向にだけ 1 次元的に流れ、放射による熱の移動は考えないものとする。

半径 $r_1=0.10\text{m}$ の球の外表面（面 1）が、半径 $r_2=0.30\text{m}$ の中空の球の内表面（面 2）の中に、同じ中心をもつように置かれている。面 1 と面 2 で閉じた空間ができている。面 2 から出た放射のうち面 2 自身に届く割合、すなわち形態係数 $F_{22}$ を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

空気を作動流体とする、再生器のない理想的なブレイトンサイクル（等エントロピー圧縮 → 等圧加熱 → 等エントロピー膨張 → 等圧放熱）で動くガスタービンがある。圧縮機の入口の空気の温度は $T_1=300\text{K}$、圧縮機の出口の温度は $T_2=500\text{K}$ である。このサイクルの理論熱効率を求めよ。答えは既約分数で答えよ。ただし、空気は比熱が一定の理想気体とみなす。

水を作動流体とする単純なランキンサイクルが定常に運転されている。状態 $1$ はポンプ入口（復水器出口の飽和水）、状態 $2$ はポンプ出口（ボイラ入口）、状態 $3$ はタービン入口（ボイラ出口）、状態 $4$ はタービン出口（復水器入口）である。各状態の比エンタルピーは
$$h_1=190\text{kJ/kg},h_2=200\text{kJ/kg},h_3=3200\text{kJ/kg},h_4=2090\text{kJ/kg}$$
である。ポンプとタービンは断熱であり、各機器の運動エネルギーと位置エネルギーの変化、配管での損失は無視する。このサイクルの熱効率 $\eta$ を既約分数で求めよ。

単純な蒸気圧縮冷凍サイクルが定常に運転されている。冷媒は、状態 $1$（蒸発器出口・圧縮機入口）から圧縮機で状態 $2$ に圧縮され、凝縮器で状態 $3$ まで冷やされ、膨張弁で状態 $4$ になって蒸発器に入る。各状態の比エンタルピーは
$$h_1=400\text{kJ/kg},h_2=440\text{kJ/kg},h_3=250\text{kJ/kg}$$
である。膨張弁は断熱の絞り弁で比エンタルピーは変わらない（$h_4=h_3$）。圧縮機は断熱であり、運動エネルギー・位置エネルギーの変化は無視する。このサイクルを冷凍機として使うときの成績係数 $\mathrm{COP}$ を既約分数で求めよ。

外半径 $r_1=0.050\text{m}$ の蒸気管に、熱伝導率 $k=0.050\text{W/(m⋅K)}$ の保温材を外半径 $r_2=0.100\text{m}$ まで一様に巻いた。保温材の内表面（管の外表面）の温度は $150{}^{\circ }\text{C}$ に保たれ、保温材の外表面は温度 $30{}^{\circ }\text{C}$ の周囲空気に熱伝達率 $h=10{\text{W/(m}}^2\text{⋅K)}$ で熱を伝えている。熱の流れは定常で半径方向のみとし、放射による熱移動は無視する。管の長さ $1\text{m}$ あたりの熱損失 $Q^{\prime }$ [W/m] を有効数字 $3$ 桁で求めよ。$\log 2=0.6931$、$\pi =3.1416$ を用いてよい。

厚さ $20\text{mm}$ の十分に広い平板が、内部で一様に単位体積あたり $q_v=1.0\times 10^6{\text{W/m}}^3$ の熱を発生している。平板の熱伝導率は $k=2.0\text{W/(m⋅K)}$ で一定であり、両側の表面温度はどちらも $50{}^{\circ }\text{C}$ に保たれている。熱の流れは定常で板の厚さ方向のみとする。平板内の最高温度 [${}^{\circ }\text{C}$] を整数で求めよ。

断面が 1 辺 $1.0\text{m}$ の正三角形で、十分に長いダクト（炉）がある。3 つの側面を面 $1$、面 $2$、面 $3$ とする。面 $1$ は温度 $T_1=1000\text{K}$、放射率 ${\epsilon }_1=0.50$、面 $2$ は温度 $T_2=500\text{K}$、放射率 ${\epsilon }_2=0.50$ の灰色拡散面である。面 $3$ は外側が完全に断熱された再放射面（正味の放射伝熱量が $0$ の面）である。ダクト内は真空で、端の影響は無視し、各面の温度・放射の性質はそれぞれ一様とする。どの 2 面の間の形態係数も $\frac{1}{2}$ である。ステファン・ボルツマン定数を $\sigma =5.67\times 10^{-8}{\text{W/(m}}^2{\text{⋅K}}^4)$ として、ダクトの長さ $1\text{m}$ あたりに面 $1$ から面 $2$ へ移る正味の放射伝熱量 [W] を有効数字 $3$ 桁で求めよ。

向流形の二重管式熱交換器で、高温の油を水で冷却している。油は $150{}^{\circ }\text{C}$ で入って $90{}^{\circ }\text{C}$ で出ていき、水は $30{}^{\circ }\text{C}$ で入って $70{}^{\circ }\text{C}$ で出ていく。熱通過率は $U=500{\text{W/(m}}^2\text{⋅K)}$、伝熱面積は $A=4.0{\text{m}}^2$ で、どちらも一定とする。運転は定常で、外部への熱損失はないものとする。この熱交換器の交換熱量 $Q$ [kW] を、自然対数 $\log$ を用いた正確な値で求めよ。

向流形の熱交換器で、高温側の油を冷却水で冷やす。

• 油: 質量流量 $0.50\text{kg/s}$、比熱 $2.0\text{kJ/(kg}\cdot \text{K)}$、入口温度 $140{}^{\circ }\text{C}$、出口温度 $60{}^{\circ }\text{C}$
• 冷却水: 質量流量 $0.50\text{kg/s}$、比熱 $4.0\text{kJ/(kg}\cdot \text{K)}$、入口温度 $20{}^{\circ }\text{C}$

熱通過率（総括伝熱係数）は $U=500{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ で伝熱面全体で一定とし、熱交換器から周囲への熱損失はないものとする。比熱は温度によらず一定とし、定常状態で運転されているとする。必要な伝熱面積は何 ${\text{m}}^2$ か。正確な値で求めよ。

十分に広い平板状の建物の外壁が、室内側から順に次の 2 層でできている。

• 断熱材層: 厚さ $0.050\text{m}$、熱伝導率 $0.040\text{W/(m}\cdot \text{K)}$
• コンクリート層: 厚さ $0.15\text{m}$、熱伝導率 $1.5\text{W/(m}\cdot \text{K)}$

室内の空気の温度は $20{}^{\circ }\text{C}$、屋外の空気の温度は $-10{}^{\circ }\text{C}$ で一定である。室内側の壁面の熱伝達率は $10{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$、屋外側の壁面の熱伝達率は $20{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ とする。熱は壁に垂直な方向にだけ流れる定常な 1 次元熱伝導とみなし、2 層の接触面の接触熱抵抗と放射による熱移動は無視する。また、熱伝導率と熱伝達率は温度によらず一定とする。

このとき、断熱材層とコンクリート層の境界面の温度は何 ${}^{\circ }\text{C}$ か。正確な値で求めよ。

並流形（2 つの流体が同じ向きに流れる形式）の二重管式熱交換器で、温水によって冷水を加熱する。

• 温水: 質量流量 $0.40\text{kg/s}$、入口温度 $90{}^{\circ }\text{C}$、出口温度 $60{}^{\circ }\text{C}$
• 冷水: 質量流量 $0.60\text{kg/s}$、入口温度 $20{}^{\circ }\text{C}$

水の比熱は温水・冷水ともに $4.2\text{kJ/(kg}\cdot \text{K)}$ で一定とし、熱通過率（総括伝熱係数）は伝熱面全体で一様に $500{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ とする。熱交換器から外部への熱損失はなく、流れは定常とする。

この熱交換に必要な伝熱面積を ${\text{m}}^2$ 単位で、有効数字 3 桁で求めよ。

理論ディーゼルサイクル（空気標準サイクル）を考える。作動流体は比熱が一定の理想気体で、比熱比を $\kappa =1.4$ とする。サイクルは次の 4 つの過程からなる。

• 状態 1 → 2: 可逆断熱圧縮
• 状態 2 → 3: 等圧加熱
• 状態 3 → 4: 可逆断熱膨張
• 状態 4 → 1: 等積放熱

圧縮比を $V_1/V_2=16$、締切比（噴射締切比）を $V_3/V_2=2$ とする。このサイクルの理論熱効率を有効数字 3 桁で求めよ。

理想的なディーゼルサイクル（空気標準サイクル）を考える。作動流体は比熱が一定の理想気体とみなし、比熱比を $\gamma =1.4$ とする。作動流体の量は一定とし、サイクルは次の 4 つの可逆過程からなる。

• 状態 1 → 2: 断熱圧縮。状態 1 の温度は $T_1=300\text{K}$、状態 2 の温度は $T_2=900\text{K}$
• 状態 2 → 3: 等圧加熱。締切比（等圧加熱の後と前の体積の比）は $V_3/V_2=2$
• 状態 3 → 4: 断熱膨張。状態 4 の体積は状態 1 の体積に等しい
• 状態 4 → 1: 等積放熱

このサイクルの理論熱効率を、有効数字 3 桁の小数で求めよ。

半径 $r_1=0.10\text{m}$ の球（面 1）が、内半径 $r_2=0.20\text{m}$ の球殻（面 2）の中に、中心をそろえて置かれている。2 つの面の間は真空である。

• 面 1: 温度 $T_1=400\text{K}$、放射率 ${\epsilon }_1=0.50$
• 面 2: 温度 $T_2=300\text{K}$、放射率 ${\epsilon }_2=0.50$

両面は灰色体の拡散面とみなし、それぞれの面の温度は一様で時間によらず一定とする。ステファン・ボルツマン定数を $\sigma =5.67\times 10^{-8}{\text{W/(m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$、円周率を $\pi =3.1416$ として計算せよ。

面 1 から面 2 へ放射によって正味に運ばれる熱流量は何 W か。有効数字 3 桁で求めよ。

工業炉の十分に広い平らな炉壁が、炉の内側から順に次の 3 層でできている。

• 層 A（耐火れんが）: 厚さ $0.25\text{m}$、熱伝導率 $1.0\text{W/(m}\cdot \text{K)}$
• 層 B（断熱れんが）: 厚さ $0.10\text{m}$、熱伝導率 $0.20\text{W/(m}\cdot \text{K)}$
• 層 C（普通れんが）: 厚さ $0.10\text{m}$、熱伝導率 $0.40\text{W/(m}\cdot \text{K)}$

炉壁の内表面（層 A の炉内側の面）の温度は $900{}^{\circ }\text{C}$、外表面（層 C の外側の面）の温度は $50{}^{\circ }\text{C}$ に保たれている。各層の熱伝導率は温度によらず一定で、層どうしは完全に密着していて接触熱抵抗はないものとする。熱は壁に垂直な方向にだけ定常に流れるとする。

層 B と層 C の境界面の温度は何 ${}^{\circ }\text{C}$ か。正確な値で求めよ。

並流形（2 つの流体が同じ向きに流れる形式）の二重管熱交換器で、温水を使って冷水を温める。

• 温水: 質量流量 $0.40\text{kg/s}$、入口温度 $90{}^{\circ }\text{C}$、出口温度 $60{}^{\circ }\text{C}$
• 冷水: 質量流量 $0.60\text{kg/s}$、入口温度 $10{}^{\circ }\text{C}$

水の比熱はどちらも $4.2\text{kJ/(kg}\cdot \text{K)}$ で一定とする。熱交換器の熱通過率は伝熱面全体で一様に $500{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ とし、熱交換器から外部への熱損失はなく、定常状態で運転されているものとする。

必要な伝熱面積は何 ${\text{m}}^2$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

プレート式熱交換器の 1 枚の伝熱板（十分に広い平板）を考える。伝熱板はステンレス鋼製で、厚さ $8.0\text{mm}$、熱伝導率 $16\text{W/(m}\cdot \text{K)}$ である。板の一方の側には温度 $85{}^{\circ }\text{C}$ の温水が、反対側には温度 $15{}^{\circ }\text{C}$ の冷水が流れている。温水と板の表面の間の熱伝達率は $500{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$、冷水と板の表面の間の熱伝達率は $400{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ である。

熱の流れは定常で、板に垂直な 1 次元の流れとみなし、放射による伝熱と板の汚れによる熱抵抗は無視する。また、温水・冷水の温度は板に沿って一様とする。このとき、伝熱板の冷水側の表面温度は何 ${}^{\circ }\text{C}$ か。整数で求めよ。

半径 $r_1=0.10\text{m}$ の球（面 1）が、半径 $r_2=0.20\text{m}$ の球殻の内面（面 2）に、中心が一致するように入れられている。2 つの面の間は真空で、熱は放射だけで伝わる。面 1 の温度は $T_1=500\text{K}$、面 2 の温度は $T_2=300\text{K}$ に保たれている。2 つの面はともに灰色の拡散面で、放射率はどちらも $0.50$ である。ステファン・ボルツマン定数を $\sigma =5.67\times 10^{-8}{\text{W/(m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$、円周率を $\pi =3.14$ とする。

定常状態で、面 1 から面 2 へ放射によって正味に伝わる熱流量は何 W か。有効数字 2 桁で求めよ。

十分に広い平板状の壁が、室内側から順に次の 3 層でできている。

• 層 1（しっくい）: 厚さ $0.020\text{m}$、熱伝導率 $0.40\text{W/(m}\cdot \text{K)}$
• 層 2（断熱材）: 厚さ $0.050\text{m}$、熱伝導率は未知
• 層 3（軽量れんが）: 厚さ $0.21\text{m}$、熱伝導率 $0.30\text{W/(m}\cdot \text{K)}$

定常状態で、壁の室内側の表面温度は $30{}^{\circ }\text{C}$、屋外側の表面温度は $-10{}^{\circ }\text{C}$ であった。また、層 1 と層 2 の境界面の温度を測ったところ $29{}^{\circ }\text{C}$ であった。熱は壁に垂直な 1 次元の熱伝導だけで伝わり、各層の熱伝導率は一定で、層どうしの接触熱抵抗は無視できるとする。このとき、層 2（断熱材）の熱伝導率は何 $\text{W/(m}\cdot \text{K)}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

管内を流れる冷却水で、管の外側の水蒸気を凝縮させる復水器（凝縮器）を考える。管の外側では水蒸気が一定の温度 $100{}^{\circ }\text{C}$ で凝縮しており、管の外側の温度は場所によらず $100{}^{\circ }\text{C}$ とみなせる。冷却水は質量流量 $2.0\text{kg/s}$ で流れ、入口温度 $20{}^{\circ }\text{C}$ で入り、出口温度 $60{}^{\circ }\text{C}$ で出る。冷却水の比熱は $4.2\text{kJ/(kg}\cdot \text{K)}$ で一定とする。

伝熱面全体にわたって熱通過率は一定で $2000{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ とし、熱交換器から周囲への熱損失は無視する。流れは定常である。このとき、必要な伝熱面積は何 ${\text{m}}^2$ か。自然対数 $\log$ を用いた正確な値で求めよ。

火花点火機関を理想化したオットーサイクル（空気標準サイクル）を考える。作動流体は定積比熱 $c_v=0.80\text{kJ/(kg}\cdot \text{K)}$、比熱比 $\gamma =\frac{4}{3}$ がともに一定の理想気体とみなし、作動流体の量は一定とする。サイクルは次の 4 つの可逆過程からなる。

• 状態 1 → 2: 断熱圧縮。圧縮比 $\epsilon =V_1/V_2=8$、状態 1 の温度は $T_1=300\text{K}$
• 状態 2 → 3: 定積加熱。状態 3 の温度は $T_3=1800\text{K}$
• 状態 3 → 4: 断熱膨張（$V_4=V_1$）
• 状態 4 → 1: 定積放熱

作動流体 $1\text{kg}$ あたり、1 サイクルで外部にする正味の仕事は何 $\text{kJ}$ か。整数で求めよ。

高速ディーゼル機関を理想化したサバテサイクル（複合サイクル、空気標準サイクル）を考える。作動流体は比熱比 $\gamma =1.40$ で、定積比熱・定圧比熱がともに一定の理想気体とみなす。作動流体の量は一定（閉じた系）とし、各過程はすべて準静的（可逆）に進むとする。サイクルは次の 5 つの過程からなる。

• 状態 1 → 2: 可逆断熱圧縮
• 状態 2 → 3: 定積加熱
• 状態 3 → 4: 定圧加熱
• 状態 4 → 5: 可逆断熱膨張（$V_5=V_1$）
• 状態 5 → 1: 定積放熱

圧縮比は $\epsilon =V_1/V_2=18$、圧縮始めの温度は $T_1=300\text{K}$ である。定積加熱での圧力上昇比は $p_3/p_2=1.50$ で、サイクルの最高温度は $T_4=2200\text{K}$ である。

このサイクルの理論熱効率を、有効数字 3 桁の小数で求めよ。

電気ヒーターを内蔵した貯湯タンクを考える。タンク内には質量 $m=100\text{kg}$ の水が入っており、水の比熱は $c=4.2\times 10^3\text{J/(kg}\cdot \text{K)}$ で一定とする。水はよくかき混ぜられていて、温度はタンク内で一様とみなす。

タンクの壁（側面・底面・ふたを含む）の伝熱面積は合計 $A=2.0{\text{m}}^2$ で、壁は内側から順に次の 2 層からなる。壁の厚さはタンクの大きさに比べて十分に小さいので、壁は平板とみなしてよい。

• 鋼板: 厚さ $2.0\text{mm}$、熱伝導率 $16\text{W/(m}\cdot \text{K)}$
• 断熱材: 厚さ $6.0\text{mm}$、熱伝導率 $0.040\text{W/(m}\cdot \text{K)}$

水と壁の内面との間の熱伝達率は $h_i=250{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$、壁の外面と周囲の空気との間の熱伝達率（放射の効果も含めた値）は $h_o=10{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ で、いずれも壁全体で一様かつ一定とする。周囲の空気の温度は $20{}^{\circ }\text{C}$ で一定である。壁の熱容量は無視し、壁の中の熱の流れは各瞬間において定常とみなす（準定常近似）。

はじめ水の温度は $20{}^{\circ }\text{C}$ であった。時刻 $t=0$ にヒーターを入れ、一定の電力 $P=500\text{W}$ をすべて水に与え続ける。水の温度が $60{}^{\circ }\text{C}$ に達する時刻は、ヒーターを入れてから何時間後か。有効数字 3 桁で求めよ。

十分に広い 2 枚の平行平板 1, 2 が、真空を隔てて向かい合っている。2 枚の板の温度はそれぞれ $T_1$, $T_2$（$T_1>T_2$）に一定に保たれている。板 1, 2 の向かい合う面の放射率は、どちらも ${\epsilon }_1={\epsilon }_2=0.80$ である。

この 2 枚の板の間に、両面の放射率が ${\epsilon }_3=0.10$ である薄い放射遮へい板を、板 1, 2 と平行に挿入する。遮へい板の厚さと熱抵抗は無視でき、遮へい板の両面は同じ温度になるとする。

すべての面は灰色拡散面とみなし、平板の端の効果は無視する（向かい合う面どうしの形態係数は $1$ とする）。定常状態において、遮へい板がないときに板 1 から板 2 へ単位面積・単位時間あたりに伝わる正味の放射熱量を $q$、遮へい板を挿入したときのそれを $q^{\prime }$ とする。比 $\frac{q^{\prime }}{q}$ を既約分数で求めよ。

冷媒を作動流体とする蒸気圧縮式冷凍機を考える。冷媒は一定の質量流量で、圧縮機 → 凝縮器 → 膨張弁 → 蒸発器 → 圧縮機の順に定常的に流れる。各機器での運動エネルギー・位置エネルギーの変化は無視し、圧縮機と膨張弁は断熱とする。また、凝縮器・蒸発器では外部と熱のやりとりだけがあり、仕事のやりとりはない。各状態での冷媒の比エンタルピーは次のとおりである。

• 状態 1（蒸発器出口 = 圧縮機入口、乾き飽和蒸気）: $h_1=400\text{kJ/kg}$
• 状態 1 から同じ吐出圧力まで可逆断熱（等エントロピー）圧縮したと仮定した場合の出口: $h_{2s}=430\text{kJ/kg}$
• 状態 3（凝縮器出口 = 膨張弁入口、飽和液）: $h_3=250\text{kJ/kg}$

圧縮機の断熱効率（等エントロピー効率）は ${\eta }_c=0.75$ であり、実際の圧縮機出口を状態 2 とする。膨張弁出口（蒸発器入口）を状態 4 とする。

この冷凍機の冷凍サイクルとしての成績係数 ${\mathrm{COP}}_R$（蒸発器で冷媒が吸収する熱量を圧縮機の仕事で割ったもの）を、既約分数で求めよ。

理論オットーサイクル（空気標準サイクル）を考える。作動流体は定積比熱 $c_v$ が一定の理想気体で、比熱比を $\kappa =1.4$ とする。作動流体の量は一定で、サイクルは次の 4 つの可逆過程からなる。

• 状態 1 → 2: 断熱圧縮
• 状態 2 → 3: 等積加熱
• 状態 3 → 4: 断熱膨張
• 状態 4 → 1: 等積放熱

圧縮始めの温度を $T_1=300\text{K}$、サイクルの最高温度（状態 3 の温度）を $T_3=1500\text{K}$ に固定し、圧縮比 $\epsilon =V_1/V_2$（$\epsilon >1$、ただし $T_2<T_3$ となる範囲）だけを変える。作動流体の単位質量あたりの正味仕事が最大になるように $\epsilon$ を選んだとき、このサイクルの理論熱効率を求めよ。答えは根号を含む正確な値で示せ。

並流形（高温流体と低温流体が同じ向きに流れる形式）の熱交換器で、高温の油を水で冷やす。運転は定常で、熱交換器から周囲への熱損失はなく、相変化は起こらないものとする。

• 油: 質量流量 $0.60\text{kg/s}$、比熱 $2.1\text{kJ/(kg}\cdot \text{K)}$、入口温度 $90{}^{\circ }\text{C}$、出口温度 $60{}^{\circ }\text{C}$
• 水: 質量流量 $0.30\text{kg/s}$、比熱 $4.2\text{kJ/(kg}\cdot \text{K)}$、入口温度 $10{}^{\circ }\text{C}$

熱交換器全体で熱通過率（総括伝熱係数）は一定で $U=300{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ とし、比熱は温度によらず一定とする。対数平均温度差を用いて、必要な伝熱面積 $A$ [${\text{m}}^2$] を求めよ。答えは自然対数 $\log$ を用いた正確な値で答えよ。

ボイラーの伝熱面の一部を、十分に広い平らな鋼板とみなす。鋼板の厚さは $12\text{mm}$、熱伝導率は $48\text{W/(m}\cdot \text{K)}$ である。鋼板の一方の側には温度 $610{}^{\circ }\text{C}$ の燃焼ガスが流れ、もう一方の側には温度 $200{}^{\circ }\text{C}$ の水がある。ここで、燃焼ガスと水の温度は、壁から十分に離れた主流での温度である。

水と鋼板の間の熱伝達率は $4000{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ であることがわかっている。一方、燃焼ガスと鋼板の間の熱伝達率はわかっていない。そこで、定常状態で鋼板の水側の表面温度を測定したところ、$205{}^{\circ }\text{C}$ であった。

熱は鋼板に垂直な方向にのみ 1 次元的に流れるものとし、鋼板の熱伝導率および両側の熱伝達率は一定とする。ガス側の放射による伝熱は、ガス側の熱伝達率に含まれているものとする。また、鋼板の表面の汚れによる熱抵抗は無視する。

このとき、燃焼ガスから水への熱通過率（総括熱伝達率）を ${\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ の単位で求め、既約分数で答えよ。

再生器付きのガスタービン（ブレイトンサイクル）を考える。作動流体は比熱が一定の理想気体とみなし、作動流体の量は一定（閉じたサイクルとして扱う）とする。

• 状態 1 → 2: 圧縮機での可逆断熱（等エントロピー）圧縮。圧縮機入口温度 $T_1=300\text{K}$、出口温度 $T_2=600\text{K}$
• 状態 2 → 2': 再生器で、タービン出口の排気から熱を受け取る等圧加熱
• 状態 2' → 3: 燃焼器での等圧加熱。タービン入口温度 $T_3=1500\text{K}$
• 状態 3 → 4: タービンでの可逆断熱（等エントロピー）膨張。タービン出口圧力は圧縮機入口圧力に等しい
• 状態 4 → 4' → 1: 再生器で圧縮空気に熱を与えたのち、外部への放熱により状態 1 に戻る等圧冷却

再生器の温度効率を $\epsilon =0.80$ とする。すなわち、再生器出口の圧縮空気の温度 $T_{2^{\prime }}$ は $T_{2^{\prime }}=T_2+\epsilon (T_4-T_2)$ で与えられる。圧力損失、外部への熱損失、運動エネルギー・位置エネルギーの変化は無視する。

このサイクルの熱効率（外部から燃焼器で加えた熱量に対する正味の仕事の比）を既約分数で求めよ。

液ガス熱交換器（内部熱交換器）を備えた蒸気圧縮式冷凍サイクルを考える。冷媒は次の順に流れる。

• 状態 1: 蒸発器出口。乾き飽和蒸気で、比エンタルピー $h_1=400\text{kJ/kg}$
• 状態 1 → 1′: 液ガス熱交換器で、凝縮器を出た液から熱を受け取って過熱される。$h_{1^{\prime }}=410\text{kJ/kg}$
• 状態 1′ → 2: 圧縮機で断熱圧縮される。状態 1′ から凝縮圧力まで等エントロピー圧縮したときの出口比エンタルピーは $h_{2s}=445\text{kJ/kg}$ であり、圧縮機の断熱効率（等エントロピー効率）は ${\eta }_c=0.80$ である
• 状態 2 → 3: 凝縮器で凝縮し、飽和液となって出る。$h_3=250\text{kJ/kg}$
• 状態 3 → 3′: 液ガス熱交換器で、状態 1 → 1′ の蒸気に熱を与えて過冷却される
• 状態 3′ → 4: 膨張弁で絞り膨張し、蒸発器に入る

液ガス熱交換器・膨張弁・配管は外部と熱をやりとりせず、圧力損失、運動エネルギー・位置エネルギーの変化は無視できる。流れは定常とする。

この冷凍サイクルの成績係数（冷凍能力 / 圧縮機の動力）を有効数字 3 桁で求めよ。

半径 $R=0.20\text{m}$ の円板（面 1）の上に、同じ半径の半球殻をかぶせて、内部が閉じた空間をつくる。半球殻の内面を面 2 とする。円板の上面と半球殻の内面は、互いにすき間なくつながっており、この 2 つの面だけで閉空間が囲まれている。

• 面 1: 温度 $T_1=1000\text{K}$、放射率 ${\epsilon }_1=0.80$
• 面 2: 温度 $T_2=500\text{K}$、放射率 ${\epsilon }_2=0.50$

両面はそれぞれ温度が一様な灰色の拡散面とみなし、閉空間の内部は真空（放射を吸収・放出しない）とする。ステファン・ボルツマン定数を $\sigma =5.67\times 10^{-8}{\text{W/(m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$ とする。

定常状態で、面 1 から面 2 へ放射によって正味に移動する熱流量は何 W か。有効数字 2 桁で求めよ。

十分に長い円管（外半径 $2.0\text{cm}$）の外側を、2 種類の保温材 P, Q でそれぞれ厚さ $2.0\text{cm}$ ずつ、2 層に重ねて覆う。保温材 P の熱伝導率は $k$、保温材 Q の熱伝導率は $2k$ であり、どちらも温度によらず一定とする。重ね方として次の 2 通りを考える。

• 配置 X: 内側の層（半径 $2.0\text{cm}$ から $4.0\text{cm}$）が P、外側の層（半径 $4.0\text{cm}$ から $6.0\text{cm}$）が Q
• 配置 Y: 内側の層が Q、外側の層が P（層の半径は配置 X と同じ）

どちらの配置でも、保温材の内面（円管の外面）の温度は $T_1$、保温材の最も外側の面の温度は $T_2$（$T_1>T_2$）に一定に保たれている。熱は定常状態で半径方向にだけ伝導し、2 つの層の間の接触熱抵抗は無視できるものとする。

管の単位長さあたりに保温材を通って流れる熱流量を、配置 X のとき $q_X$、配置 Y のとき $q_Y$ とする。比 $\frac{q_X}{q_Y}$ を、自然対数 $\log$ を用いた正確な値で求めよ。

室内と屋外を隔てる窓に、複層ガラスを用いる。複層ガラスは、室内側から順に次の 3 層からなる十分に広い平板とみなす。

• ガラス板: 厚さ $4.0\mathrm{mm}$、熱伝導率 $0.80W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
• 中空層（乾燥空気の層）: 熱抵抗（単位面積あたり）$0.125{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$
• ガラス板: 厚さ $4.0\mathrm{mm}$、熱伝導率 $0.80W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$

室内側の表面と室内空気の間の熱伝達率は $8.0W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$、屋外側の表面と外気の間の熱伝達率は $25W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ である。室内空気の温度は $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ に保たれ、その露点温度は $10{}^{\circ }\mathrm{C}$ である。熱の流れは定常で、窓の面に垂直な 1 次元の流れとみなし、放射による熱の移動は熱伝達率に含めて考える。

室内側のガラス表面の温度が露点温度 $10{}^{\circ }\mathrm{C}$ を下回らない（結露しない）ような外気温度の最低値は何 ${}^{\circ }\mathrm{C}$ か。整数で求めよ。

フラッシュタンク（開放形中間冷却器）を備えた二段圧縮式の蒸気圧縮冷凍サイクルを考える。冷媒は次のように定常的に流れる。

• 低段側：蒸発器を出た低圧の乾き飽和蒸気（状態 1）が低段圧縮機で中間圧まで断熱圧縮されて状態 2 となり、フラッシュタンクに吹き込まれる。
• 高段側：フラッシュタンクを出た中間圧の乾き飽和蒸気（状態 3）が高段圧縮機で高圧まで断熱圧縮されて状態 4 となり、凝縮器で凝縮して高圧の飽和液（状態 5）となる。状態 5 の液は膨張弁 A で中間圧まで絞られて状態 6 となり、フラッシュタンクに入る。
• フラッシュタンクからは、中間圧の乾き飽和蒸気（状態 3）が高段圧縮機へ、中間圧の飽和液（状態 7）が膨張弁 B へ出ていく。状態 7 の液は膨張弁 B で低圧まで絞られて状態 8 となり、蒸発器に入る。

各状態の比エンタルピーとして次の値を用いる。
$$h_1=380\text{kJ/kg},h_3=400\text{kJ/kg},h_5=255\text{kJ/kg},h_7=200\text{kJ/kg}$$
また、状態 1 から中間圧まで等エントロピー圧縮したときの出口の比エンタルピーは $h_{2s}=405\text{kJ/kg}$、状態 3 から高圧まで等エントロピー圧縮したときの出口の比エンタルピーは $h_{4s}=425\text{kJ/kg}$ である。2 台の圧縮機の断熱効率（等エントロピー効率）はともに ${\eta }_c=0.80$ とする。

膨張弁での絞りは断熱で外部と仕事のやりとりがないものとし、フラッシュタンクは断熱容器で仕事のやりとりはないものとする。運動エネルギー・位置エネルギーの変化は無視する。このサイクルの冷凍の成績係数（蒸発器での吸熱量を 2 台の圧縮機の動力の和で割ったもの）を、既約分数で求めよ。

高温の油を冷却水で冷やす二重管式熱交換器を設計する。運転条件は次のとおりである。

• 油: 質量流量 $0.80\text{kg/s}$、比熱 $2.1\text{kJ/(kg}\cdot \text{K)}$、入口温度 $90{}^{\circ }\text{C}$、出口温度 $50{}^{\circ }\text{C}$
• 冷却水: 質量流量 $0.80\text{kg/s}$、比熱 $4.2\text{kJ/(kg}\cdot \text{K)}$、入口温度 $10{}^{\circ }\text{C}$

熱交換器は定常状態で運転され、周囲への熱損失はなく、両流体とも相変化しないものとする。比熱は一定とし、熱通過率（総括伝熱係数）は伝熱面上で一様で、流れの形式によらず同じ値とする。

この条件（入口・出口温度と流量）を満たすのに必要な伝熱面積を、向流形とした場合を $A_{\text{c}}$、並流形とした場合を $A_{\text{p}}$ とする。比 $\frac{A_{\text{c}}}{A_{\text{p}}}$ を、自然対数を用いた正確な形で求めよ。

木造住宅の外壁の一部を考える。壁は十分に広く、壁に平行な方向には同じ構造が幅 $0.50\text{m}$ ごとにくり返している。そこで、幅 $0.50\text{m}$、高さ $1.0\text{m}$ の部分（以下「単位区画」とよぶ）だけを考える。壁は室内側から順に次の 3 層でできている。

• 層 1（石こうボード）: 厚さ $0.010\text{m}$、熱伝導率 $0.20\text{W/(m}\cdot \text{K)}$
• 層 2（間柱と断熱材）: 厚さ $0.12\text{m}$。単位区画のうち幅 $0.050\text{m}$ の部分は木材の間柱（熱伝導率 $0.12\text{W/(m}\cdot \text{K)}$）で、残りの幅 $0.45\text{m}$ の部分には断熱材（熱伝導率 $0.040\text{W/(m}\cdot \text{K)}$）がすき間なく詰められている。間柱も断熱材も高さ方向には単位区画の全体にわたっている。
• 層 3（合板）: 厚さ $0.009\text{m}$、熱伝導率 $0.12\text{W/(m}\cdot \text{K)}$

室内の空気の温度は $20{}^{\circ }\text{C}$、屋外の空気の温度は $-8{}^{\circ }\text{C}$ で、室内側の壁面の熱伝達率は $8.0{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$、屋外側の壁面の熱伝達率は $20{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ である。

定常状態で、熱は壁に垂直な方向にだけ流れるものとし、層と層の境界面（層 1 と層 2 の境界、層 2 と層 3 の境界）はそれぞれ一様な温度の等温面とみなす。層間の接触熱抵抗と放射の影響は無視する。このとき、単位区画を室内から屋外へ通過する熱流量は何 W か。有効数字 2 桁で求めよ。

十分に広い 2 層の平板からなる壁を考える。壁に垂直に $x$ 軸をとる。

• 層 A（$0\le x\le L_A$）: 熱伝導率 $k_A$ の材料で、内部で単位体積・単位時間あたり一様に $q_v$（$q_v>0$）の熱が発生している。面 $x=0$ は断熱されている。
• 層 B（$L_A\le x\le L_A+L_B$）: 熱伝導率 $k_B$ の材料で、内部発熱はない。
• 層 A と層 B の接触面には、単位面積あたりの接触熱抵抗 $R_c$ がある。
• 面 $x=L_A+L_B$ は温度 $T_f$ の流体に接しており、熱伝達率 $h$ の対流熱伝達で熱を放出している。

熱伝導率・熱伝達率・接触熱抵抗はいずれも温度によらない正の定数とし、温度は $x$ だけに依存する定常状態にあるとする。放射による熱移動は無視する。このとき、壁内の最高温度 $T_{\text{max}}$ を $q_v,L_A,L_B,k_A,k_B,R_c,h,T_f$ を用いて表せ。

断面が 1 辺 $w=0.50\text{m}$ の正三角形である、十分に長いダクトがある。ダクトの 3 つの内壁面を面 1, 面 2, 面 3 とする。面 1 は温度 $T_1=1000\text{K}$、面 2 は温度 $T_2=500\text{K}$ に保たれており、どちらも放射率 $\epsilon =0.60$ の拡散灰色面である。面 3 は外側が完全に断熱された再放射面（正味の放射伝熱量が $0$ の面）である。ダクト内部は真空で、放射を吸収・放出しない。ダクトの長さは十分に長く、端の影響は無視する。各面の温度とラジオシティはその面上で一様とし、ステファン・ボルツマン定数を $\sigma =5.67\times 10^{-8}{\text{W/(m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$ とする。

ダクトの長さ $1\text{m}$ あたり、面 1 から面 2 へ正味に移動する放射伝熱量は何 $\text{W/m}$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

断面が 1 辺 $w=0.40\text{m}$ の正方形である、十分に長いダクトがある（奥行き方向の端の影響は無視し、2 次元として扱う）。ダクトの 4 つの内壁面のうち、

• 底面（面 1）: 温度 $T_1=800\text{K}$ に保たれ、放射率 ${\epsilon }_1=0.80$
• 上面（面 2、面 1 と向かい合う）: 温度 $T_2=400\text{K}$ に保たれ、放射率 ${\epsilon }_2=0.50$
• 2 つの側面: 外側が完全に断熱されており、内面では対流も伝導もない再放射面（正味の放射熱流束が $0$ の面）

とする。すべての面は灰色の拡散面で、各面の温度・放射度（ラジオシティ）は面内で一様とみなす。ダクト内の気体は放射を吸収・放射しない。ステファン・ボルツマン定数を $\sigma =5.67\times 10^{-8}{\text{W/(m}}^2\cdot {\text{K}}^4)$ とする。

定常状態で、面 1 から面 2 へ正味に運ばれる放射伝熱量を、ダクトの長さ $1\text{m}$ あたりで求めよ。単位は $\text{W/m}$ とし、有効数字 3 桁で答えよ。

十分に長い薄肉の円管（外半径 $r_1=5.0\text{mm}$）の内部を温水が流れ、管の外は空気である。管壁は十分に薄く、その熱抵抗は無視でき、管の内面と外面の半径はともに $r_1$ とみなす。

• 管内の温水と管壁の間の熱伝達率: $h_i=1000{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$
• 外表面と外気の間の熱伝達率（放射の効果も含めたもの）: $h_o=10{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$

この管の外側に、熱伝導率 $k=0.10\text{W/(m}\cdot \text{K)}$ の保温材を、外半径が $r_2=10\text{mm}$ になるように同心円筒状に巻いた。保温材を巻いた後も、温水の温度、外気の温度、熱伝達率 $h_i,h_o$ の値は変わらないものとする。また、熱の流れは定常で、半径方向だけに起こるものとし、管と保温材の接触熱抵抗は無視する。

保温材を巻いた後の管の単位長さあたりの放熱量を $Q_2^{\prime }$、巻く前の単位長さあたりの放熱量を $Q_1^{\prime }$ とするとき、比 $\frac{Q_2^{\prime }}{Q_1^{\prime }}$ を求めよ。答えは自然対数 $\log$ を含む正確な値で答えよ。

内半径 $a$、外半径 $b$（$0<a<b$）の球殻がある。球殻は組成が半径方向に連続的に変わる傾斜材料でできており、中心からの距離 $r$（$a\le r\le b$）での熱伝導率は
$$k(r)=k_0\frac{r}{a}$$
で与えられる（$k_0$ は正の定数）。

球殻の内面は温度 $T_1$ に保たれている。球殻の外面は温度 $T_2$（$T_2<T_1$）の流体に接しており、外面と流体の間の熱伝達率は $h$（$h>0$、一様）である。球殻内の熱の移動は半径方向の定常な熱伝導だけとし、球殻内での熱の発生はなく、放射による伝熱は無視する。

球殻の内面から流体へ単位時間あたりに流れる熱量（熱流量）$Q$ を、$a,b,k_0,h,T_1,T_2$ を用いて表せ。

プレート式熱交換器の 1 枚の伝熱板（十分に広い平板）を考える。伝熱板はステンレス製で、厚さ $L=2.0\text{mm}$、熱伝導率 $k=20\text{W/(m}\cdot \text{K)}$ である。板の一方の側を温水が、他方の側を冷却水が流れている。

ある断面で測定したところ、次の値が得られた。
- 温水の混合平均温度 $T_h=80{}^{\circ }\text{C}$、冷却水の混合平均温度 $T_c=20{}^{\circ }\text{C}$
- 板の温水側の表面温度 $65{}^{\circ }\text{C}$、冷却水側の表面温度 $57.5{}^{\circ }\text{C}$

熱の流れは板に垂直な 1 次元の定常な流れとし、板の両面での熱移動はそれぞれ一定の熱伝達率をもつ対流熱伝達で表されるとする。汚れ（ファウリング）の熱抵抗や放射は無視する。

次に、温水側の条件はそのままにして、冷却水の流速だけを大きくする。冷却水側の熱伝達率は冷却水の流速の $0.8$ 乗に比例し、それ以外の条件（両流体の混合平均温度、物性値、温水側の熱伝達率）は変わらないものとする。

この断面での熱通過率（両流体の混合平均温度の差を基準とする）を $2000{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ にするには、冷却水の流速をもとの何倍にすればよいか。正確な値で求めよ。

再生器をもたない単純なガスタービン（ブレイトンサイクル）を考える。作動流体は定圧比熱 $c_p$ と比熱比 $\gamma$ が一定の理想気体とみなし、質量流量は一定とする。サイクルは次の 4 つの過程からなる。

• 状態 1 → 2: 圧縮機での断熱圧縮。圧縮機入口温度 $T_1=300\text{K}$、圧縮機の断熱効率 ${\eta }_C=0.80$
• 状態 2 → 3: 燃焼器での等圧加熱。タービン入口温度 $T_3=1350\text{K}$
• 状態 3 → 4: タービンでの断熱膨張。タービンの断熱効率 ${\eta }_T=0.90$
• 状態 4 → 1: 等圧放熱

圧力比を $\pi =p_2/p_1$（$\pi >1$）とし、$p_3=p_2$、$p_4=p_1$ とする。圧縮機・タービンの断熱効率は、同じ圧力比での等エントロピー変化に対する比エンタルピー変化の比で定義する（圧縮機では「等エントロピー圧縮の仕事 / 実際の圧縮仕事」、タービンでは「実際の膨張仕事 / 等エントロピー膨張の仕事」）。運動エネルギー・位置エネルギーの変化と、圧縮機・タービンからの熱損失は無視する。

$T_1$、$T_3$、${\eta }_C$、${\eta }_T$ を固定して圧力比 $\pi$ だけを変えるとき、作動流体の単位質量あたりの正味仕事が最大になる圧力比で運転した場合の、このサイクルの熱効率を求めよ。正確な値（分数）で答えよ。

空気を作動流体とする逆ブレイトンサイクル（空気冷凍サイクル）を考える。空気は定圧比熱 $c_p$ が一定の理想気体とみなし、比熱比を $\gamma$ とする。空気は一定の質量流量で次の 4 つの機器を順に定常的に流れる。運動エネルギー・位置エネルギーの変化は無視し、圧縮機とタービン（膨張機）は外部と熱のやりとりをしない（断熱）とする。また、熱交換器内での圧力損失は無視する。

• 状態 1 → 2: 圧縮機で断熱圧縮する。圧縮機入口温度は $T_1=270\text{K}$、圧力比（出口圧力 / 入口圧力）を $r_p$ とする。圧縮機の断熱効率（等エントロピー効率）は ${\eta }_c=0.80$ である。
• 状態 2 → 3: 放熱器で定圧のまま外気へ放熱し、温度 $T_3=300\text{K}$ になる。
• 状態 3 → 4: タービンで断熱膨張し、圧力を圧縮機入口の圧力まで下げる。タービンの断熱効率（等エントロピー効率）は ${\eta }_t=0.90$ である。
• 状態 4 → 1: 冷却器で定圧のまま冷却空間から吸熱し、状態 1 に戻る。

ただし、圧力比は $r_p^{(\gamma -1)/\gamma }=1.5$ を満たすものとする。タービンで得た仕事はすべて圧縮機の駆動に使い、不足分を外部から供給する。このとき、冷凍サイクルの成績係数（冷却器での吸熱量を、外部から供給する正味の仕事で割った値）を既約分数で求めよ。