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熱工学・伝熱の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理熱工学・伝熱

向流形の熱交換器で、高温側の油を冷却水で冷やす。

油: 質量流量 $0.50 kg/s$ 、比熱 $2.0 kJ/(kg \cdot K)$ 、入口温度 $140^{\circ} C$ 、出口温度 $60^{\circ} C$
冷却水: 質量流量 $0.50 kg/s$ 、比熱 $4.0 kJ/(kg \cdot K)$ 、入口温度 $20^{\circ} C$

熱通過率（総括伝熱係数）は $U = 500 W/(m^{2} \cdot K)$ で伝熱面全体で一定とし、熱交換器から周囲への熱損失はないものとする。比熱は温度によらず一定とし、定常状態で運転されているとする。必要な伝熱面積は何 $m^{2}$ か。正確な値で求めよ。

この問題で使うもの

熱交換器の対数平均温度差（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（40 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

まず油側のエネルギー収支から交換熱量 $Q$ を求め、冷却水の出口温度を決めます。そのあと $Q = U A Δ T_{lm}$ を使います。

ヒント 2

向流形の対数平均温度差は $Δ T_{lm} = \frac{Δ T _{1} - Δ T _{2}}{lo g ( Δ T _{1} /Δ T _{2} )}$ で、 $Δ T_{1} = T_{h, in} - T_{c, out}$ 、 $Δ T_{2} = T_{h, out} - T_{c, in}$ です。

ヒント 3

$Q = 8.0 \times 1 0^{4} W$ 、冷却水の出口温度は $60^{\circ} C$ となり、両端の温度差は $80 K$ と $40 K$ です。

答えと解説

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4 lo g 2

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交換熱量
周囲への熱損失がないので、油が失った熱量はすべて冷却水に渡る。油側のエネルギー収支から
$Q = m ˙_{h} c_{h} (T_{h, in} - T_{h, out}) = 0.50 \times (2.0 \times 1 0^{3}) \times (140 - 60) = 8.0 \times 1 0^{4} W$

冷却水の出口温度
冷却水側のエネルギー収支 $Q = m ˙_{c} c_{c} (T_{c, out} - T_{c, in})$ より
$T_{c, out} = 20 + \frac{8.0 \times 1 0 ^{4}}{0.50 \times ( 4.0 \times 1 0 ^{3} )} = 20 + 40 = 60^{\circ} C$

対数平均温度差
向流形では、油の入口側の端で油の入口と冷却水の出口が、油の出口側の端で油の出口と冷却水の入口が向かい合う。両端の温度差は
$Δ T_{1} = T_{h, in} - T_{c, out} = 140 - 60 = 80 K$
$Δ T_{2} = T_{h, out} - T_{c, in} = 60 - 20 = 40 K$
よって対数平均温度差は
$Δ T_{lm} = \frac{Δ T _{1} - Δ T _{2}}{lo g ( Δ T _{1} /Δ T _{2} )} = \frac{80 - 40}{lo g 2} = \frac{40}{lo g 2} K$

伝熱面積
$U$ が一定で比熱も一定なので $Q = U A Δ T_{lm}$ が成り立つ。したがって
$A = \frac{Q}{U Δ T _{lm}} = \frac{8.0 \times 1 0 ^{4}}{500 \times \frac{40}{lo g 2}} = \frac{8.0 \times 1 0 ^{4} lo g 2}{2.0 \times 1 0 ^{4}} = 4 lo g 2 m^{2}$
（数値では約 $2.77 m^{2}$ である。）

別解

熱交換量: $Q = m ˙_{o} c_{o} (T_{h, in} - T_{h, o u t}) = 0.50 \times 2000 \times (140 - 60) = 8.0 \times 1 0^{4} W$ 。
冷却水出口温度: $Q = m ˙_{w} c_{w} (T_{c, o u t} - 20)$ より $T_{c, o u t} = 20 + \frac{8.0 \times 1 0 ^{4}}{0.50 \times 4000} = 20 + 40 = 60^{\circ} C$ 。
向流なので、両端の温度差は高温側入口と冷水出口: $Δ T_{1} = 140 - 60 = 80 K$ 、高温側出口と冷水入口: $Δ T_{2} = 60 - 20 = 40 K$ 。
対数平均温度差: $Δ T_{l m} = \frac{80 - 40}{ln ( 80/40 )} = \frac{40}{ln 2} K$ 。
$Q = U A Δ T_{l m}$ より $A = \frac{8.0 \times 1 0 ^{4}}{500 \times 40/ ln 2} = \frac{8.0 \times 1 0 ^{4} ln 2}{2.0 \times 1 0 ^{4}} = 4 ln 2 m^{2}$ 。
検算: $4 ln 2 \approx 2.77$ 。 $U A Δ T_{l m} = 500 \times 2.77 \times 57.7 \approx 8.0 \times 1 0^{4} W$ で一致。

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