抵抗の直列接続・並列接続

直列接続では各抵抗の電流が等しく合成抵抗が $R_{1} + R_{2}$ 、並列接続では各抵抗の電圧が等しく $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ となることや、並列の合成抵抗がどの抵抗よりも小さいことなどの性質を判定できる

前提

オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））

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オームの法則と抵抗率（高校物理電流と回路（知識））

説明

複数の抵抗をつないだ回路で、各抵抗に流れる電流や加わる電圧の関係と、全体を1つの抵抗とみなしたときの抵抗値（合成抵抗）を判定できるようになります。つなぎ方には、1本の道に順に並べる直列接続と、枝分かれさせて両端をそろえる並列接続があります。家庭の配線（コンセントにつなぐ電気器具どうしは並列）や、電流計・電圧計のつなぎ方など、回路を考えるあらゆる場面の基本になります。

なぜそうしてよいのか

直列接続では、電流の通り道が1本しかありません。導線の途中で電荷がたまったり消えたりしないので（電気量保存）、どの抵抗にも同じ大きさの電流 $I$ が流れます。一方、全体の電圧は各抵抗での電圧の和になるので、オームの法則から $V = V_{1} + V_{2} = R_{1} I + R_{2} I = (R_{1} + R_{2}) I$ です。これを $V = R I$ と見比べると、合成抵抗は $R = R_{1} + R_{2}$ となります。各抵抗の電圧は $V_{1} = R_{1} I$ 、 $V_{2} = R_{2} I$ なので、抵抗値に比例して電圧が分かれます。

並列接続では、2つの抵抗の両端がそれぞれ同じ2点につながっているので、どちらの抵抗にも同じ電圧 $V$ が加わります。枝分かれする点でも電荷は消えないので、全体の電流は各抵抗の電流の和です。 $I = I_{1} + I_{2} = \frac{V}{R _{1}} + \frac{V}{R _{2}}$ を $I = \frac{V}{R}$ と見比べると $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ が得られます。各抵抗の電流は $I_{1} = \frac{V}{R _{1}}$ なので、抵抗値に反比例して電流が分かれます。

$R = ρ \frac{L}{S}$ で考えると直観的です。同じ材質・同じ太さの抵抗を直列にするのは長さ $L$ を伸ばすことにあたり、抵抗は大きくなります。並列にするのは断面積 $S$ を広げる（通り道を増やす）ことにあたり、抵抗は小さくなります。実際、 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}} > \frac{1}{R _{1}}$ より $R < R_{1}$ 、同様に $R < R_{2}$ なので、並列の合成抵抗はどの抵抗よりも小さくなります。逆に直列の合成抵抗 $R_{1} + R_{2}$ はどの抵抗よりも大きくなります。

手順

つなぎ方を見分ける：電流の通り道が1本なら直列、両端が同じ2点につながり枝分かれしていれば並列。
直列なら『電流が共通』とし、電圧は抵抗値に比例して分かれる（ $V_{1} : V_{2} = R_{1} : R_{2}$ ）と判断する。
直列の合成抵抗は $R = R_{1} + R_{2}$ とし、どの抵抗よりも大きいことを確かめる。
並列なら『電圧が共通』とし、電流は抵抗値に反比例して分かれる（ $I_{1} : I_{2} = \frac{1}{R _{1}} : \frac{1}{R _{2}} = R_{2} : R_{1}$ ）と判断する。
並列の合成抵抗は $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ （2つなら $R = \frac{R _{1} R _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ ）とし、どの抵抗よりも小さいことを確かめる。

例題

抵抗値が $R_{1}$ , $R_{2}$ （ともに正）の2つの抵抗を、導線の抵抗は無視できるものとして電池につなぐ。次の記述のうち正しいものを、次のア〜エのうちから1つ選べ。
ア　2つの抵抗を直列に接続すると、各抵抗に流れる電流の大きさは抵抗値に反比例する。
イ　2つの抵抗を並列に接続すると、各抵抗に加わる電圧は抵抗値に比例する。
ウ　2つの抵抗を並列に接続したときの合成抵抗は、 $R_{1}$ と $R_{2}$ のどちらよりも小さい。
エ　2つの抵抗を直列に接続したときの合成抵抗は、 $R_{1}$ と $R_{2}$ のうち大きいほうより小さい。

例題の解答

ア：直列接続である（手順1）。直列では通り道が1本なので電流は共通（手順2）。抵抗値によらず電流は等しいので誤り。
イ：並列接続である（手順1）。並列では両端が同じ2点につながるので電圧は共通（手順4）。抵抗値に比例するのは直列のときの電圧なので誤り。
ウ：並列の合成抵抗は $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ （手順5）。 $\frac{1}{R _{2}} > 0$ より $\frac{1}{R} > \frac{1}{R _{1}}$ なので $R < R_{1}$ 、同様に $R < R_{2}$ 。正しい。
エ：直列の合成抵抗は $R = R_{1} + R_{2}$ （手順3）で、 $R_{1}$ よりも $R_{2}$ よりも大きい。誤り。
よって正しいものはウ。

答え:

ウ

よくある誤り

並列の合成抵抗を $R = R_{1} + R_{2}$ としてしまう誤り。正しくは $\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ で、例えば $R_{1} = R_{2} = 10 Ω$ なら $R = 5 Ω$ （足すと $20 Ω$ になるのは直列）。
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}$ の右辺を計算した値をそのまま $R$ としてしまう誤り。例えば $R_{1} = 2 Ω$ , $R_{2} = 3 Ω$ では $\frac{1}{R} = \frac{5}{6}$ なので、逆数をとって $R = \frac{6}{5} Ω$ が正しい。
直列でも電圧が等しい、または並列でも電流が等しいとしてしまう誤り。正しくは直列では電流 $I$ が共通で電圧が $V_{1} = R_{1} I$ , $V_{2} = R_{2} I$ と分かれ、並列では電圧 $V$ が共通で電流が $I_{1} = \frac{V}{R _{1}}$ , $I_{2} = \frac{V}{R _{2}}$ と分かれる。
並列で抵抗の大きいほうに電流が多く流れるとしてしまう誤り。正しくは電圧が共通なので $I_{1} : I_{2} = R_{2} : R_{1}$ となり、抵抗の小さいほうに多く流れる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
内部抵抗の無視できる電池に、抵抗 $R_{1}$ だけを導線でつないで電流を流した。次に、電池と抵抗 $R_{1}$ のつなぎ方はそのままで、別の抵抗 $R_{2}$ を抵抗 $R_{1}$ と並列になるように接続した。抵抗の抵抗値は温度などによって変化しないものとし、導線の抵抗は無視する。抵抗 $R_{2}$ を接続したあとのようすについて述べた次の文中の空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして最も適当なものを、下のア〜エのうちから 1 つ選べ。
「抵抗 $R_{2}$ を接続する前に比べて、電池から流れ出る電流は（　a　）。また、抵抗 $R_{1}$ の両端の電圧は（　b　）。」
a b
ア増える小さくなる
イ減る変わらない
ウ増える変わらない
エ減る小さくなる

	a	b
ア	増える	小さくなる
イ	減る	変わらない
ウ	増える	変わらない
エ	減る	小さくなる

この技能を使う問題

難易度 3（共通テストレベル）
内部抵抗の無視できる電池に、抵抗 $R_{1}$ と抵抗 $R_{2}$ を直列に接続した回路がある。抵抗 $R_{2}$ の両端の電圧を測るため、電圧計を抵抗 $R_{2}$ に並列に接続した。電圧計には内部抵抗があり、その値は有限であるとする。また、導線の抵抗は無視し、抵抗の抵抗値は変化しないものとする。電圧計とその内部抵抗について述べた文として最も適当なものを、次のア〜オのうちから 1 つ選べ。
- ア　電圧計の内部抵抗が小さいほど、電圧計に流れる電流が小さくなるので、電圧計をつないだことによる回路への影響は小さい。
- イ　電圧計は抵抗 $R_{2}$ に並列に接続するので、内部抵抗の大きさにかかわらず、抵抗 $R_{2}$ を流れる電流は電圧計をつなぐ前と変わらない。
- ウ　電圧計の測定できる電圧の最大値を大きくするには、電圧計の内部抵抗より小さい抵抗を、電圧計に並列に接続すればよい。
- エ　電圧計の内部抵抗が大きいほど、電圧計に分かれて流れる電流が小さくなるので、抵抗 $R_{2}$ の両端の電圧は、電圧計をつなぐ前の値からずれにくい。
- オ　電圧計の内部抵抗が大きいほど、抵抗 $R_{2}$ と電圧計の部分の合成抵抗が小さくなるので、抵抗 $R_{2}$ の両端の電圧は小さくなる。

難易度 4（国公立二次の標準レベル）

抵抗値が異なる 2 つの抵抗 A, B があり、A の抵抗値は B の抵抗値より大きい。抵抗の抵抗値は温度などによって変化しないものとし、導線の抵抗は無視する。

A と B を直列に接続して、その両端に一定の電圧を加えたとき、A と B のうち消費電力が大きいのは抵抗値の（ a ）抵抗である。また、A と B を並列に接続したとき、その合成抵抗の値は（ b ）。

空欄 a・b に入る語句の組み合わせとして最も適当なものを、次の表のア〜カのうちから 1 つ選べ。

	a	b
ア	小さい方の	A の抵抗値より大きい
イ	小さい方の	A の抵抗値と B の抵抗値の間の値になる
ウ	小さい方の	B の抵抗値より小さい
エ	大きい方の	A の抵抗値より大きい
オ	大きい方の	A の抵抗値と B の抵抗値の間の値になる
カ	大きい方の	B の抵抗値より小さい

この技能の次に学べること

オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）
電流計・電圧計と分流器・倍率器（高校物理電流と回路（知識））
キルヒホッフの法則の意味（高校物理電流と回路（知識））