熱交換器の対数平均温度差

熱収支 $m ˙_{h} c_{h} Δ T_{h} = m ˙_{c} c_{c} Δ T_{c}$ から出口温度を決め、並流・向流の対数平均温度差 $Δ T_{l m} = \frac{Δ T _{1} - Δ T _{2}}{lo g ( Δ T _{1} /Δ T _{2} )}$ を使って $Q = U A Δ T_{l m}$ から交換熱量や必要な伝熱面積を求められる

前提

対流熱伝達と熱通過率（大学物理熱工学・伝熱）
熱量と比熱・熱容量（高校物理熱と気体）
対数の定義と性質（数学II 指数関数と対数関数）

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説明

高温の流体と低温の流体を壁越しに流して熱を受け渡す熱交換器について、交換熱量や必要な伝熱面積を求められるようになります。まず熱収支（高温側が失う熱 $=$ 低温側が得る熱）から出口温度を決め、両端の温度差から「対数平均温度差」 $Δ T_{l m}$ を計算して $Q = U A Δ T_{l m}$ に入れます。2 つの流体が同じ向きに流れる並流と、逆向きに流れる向流のどちらにも使えます。

なぜそうしてよいのか

以下では、熱通過率 $U$ 、両流体の比熱 $c_{h}, c_{c}$ と質量流量 $m ˙_{h}, m ˙_{c}$ は熱交換器の中で一定で、外部への熱損失はないものとします。熱交換器の中では、2 つの流体の温度差 $Δ T$ が入口から出口へ進むにつれて変わります。壁を通る熱流束は $U Δ T$ なので、全体の交換熱量は「 $U \times$ 面積 $\times$ 平均的な温度差」になりますが、この平均は両端の単純な平均 $\frac{Δ T _{1} + Δ T _{2}}{2}$ ではありません。

並流で考えます。伝熱面を流れの向きに、面積 $δ A$ の小片 $N$ 個に分けます（ $N δ A = A$ ）。温度差が $Δ T$ の小片で渡る熱は $δ Q = U δ A Δ T$ 。このとき高温側は $δ Q / (m ˙_{h} c_{h})$ 下がり、低温側は $δ Q / (m ˙_{c} c_{c})$ 上がるので、温度差は $M δ Q$ だけ縮みます（ $M = \frac{1}{m ˙ _{h} c _{h}} + \frac{1}{m ˙ _{c} c _{c}}$ ）。ここから 2 つのことがわかります。
(i) 縮み幅は渡した熱に比例するので、全体で足し合わせると $Δ T_{1} - Δ T_{2} = M Q$ （ $Δ T_{1}, Δ T_{2}$ は入口側・出口側の端の温度差）。
(ii) 1 つの小片を通ると $Δ T$ は $Δ T - M U δ A Δ T = (1 - x) Δ T$ （ $x = M U δ A$ ）になります。つまり温度差は、そのときの温度差に比例する割合で減っていき、小片ごとに一定の倍率 $1 - x$ がかかります。

(ii) を指数関数で書き直すために、次の事実を使います: 自然対数の底 $e$ は「 $y = e^{t}$ のグラフの $t = 0$ での傾きが $1$ 」になる数なので、 $t$ が $0$ に近いとき $e^{t}$ は $1 + t$ に非常に近く、その差は $t$ よりずっと小さい（ $t^{2}$ 程度）。よって $x$ が小さいとき $1 - x \approx e^{- x}$ です。 $N$ 個の小片を通ると
$\frac{Δ T _{2}}{Δ T _{1}} = (1 - x)^{N} \approx (e^{- x})^{N} = e^{- M U N δ A} = e^{- M U A}$
各小片での誤差は $x^{2} = (M U A / N)^{2}$ 程度で、 $N$ 個ぶん合わせても $(M U A)^{2} / N$ 程度なので、小片を細かくする（ $N$ を大きくする）ほど誤差は $0$ に近づき、等号が成り立ちます。両辺の対数をとって $lo g \frac{Δ T _{1}}{Δ T _{2}} = M U A$ 。これと (i) から $M$ を消すと
$Q = U A \frac{Δ T _{1} - Δ T _{2}}{lo g ( Δ T _{1} /Δ T _{2} )} = U A Δ T_{l m}$
が得られます。

向流では、高温側の流れの向きに進むとき低温側の温度も下がっていくので、 $M = \frac{1}{m ˙ _{h} c _{h}} - \frac{1}{m ˙ _{c} c _{c}}$ に変わるだけで（ $M$ が負なら温度差は増えていく）、同じ式が成り立ちます。ただし $Δ T_{1}, Δ T_{2}$ は熱交換器の同じ端での 2 流体の温度差です。並流なら入口側で（高温入口 $-$ 低温入口）、出口側で（高温出口 $-$ 低温出口）、向流なら一端で（高温入口 $-$ 低温出口）、他端で（高温出口 $-$ 低温入口）。式は $Δ T_{1}$ と $Δ T_{2}$ を入れ替えても同じ値で、 $Δ T_{1} = Δ T_{2}$ のとき（向流で $m ˙_{h} c_{h} = m ˙_{c} c_{c}$ 、つまり $M = 0$ の場合）は温度差が一定なので $Δ T_{l m} = Δ T_{1}$ とします。

手順

熱収支 $Q = m ˙_{h} c_{h} (T_{h, 入} - T_{h, 出}) = m ˙_{c} c_{c} (T_{c, 出} - T_{c, 入})$ から交換熱量 $Q$ と、未知の出口温度を求める
流れの形（並流・向流）に合わせて、熱交換器の両端それぞれで 2 流体の温度差 $Δ T_{1}, Δ T_{2}$ を求める（並流: $T_{h, 入} - T_{c, 入}$ と $T_{h, 出} - T_{c, 出}$ 、向流: $T_{h, 入} - T_{c, 出}$ と $T_{h, 出} - T_{c, 入}$ ）
対数平均温度差を計算する: $Δ T_{l m} = \frac{Δ T _{1} - Δ T _{2}}{lo g ( Δ T _{1} /Δ T _{2} )}$ （ $Δ T_{1} = Δ T_{2}$ なら $Δ T_{l m} = Δ T_{1}$ ）
$Q = U A Δ T_{l m}$ を使い、求めたいもの（伝熱面積なら $A = \frac{Q}{U Δ T _{l m}}$ 、交換熱量なら $Q$ ）を求める

例題

向流形の熱交換器で、高温側に質量流量 $0.50 kg/s$ の水を $90^{\circ} C$ で入れ $50^{\circ} C$ で出し、低温側に質量流量 $1.0 kg/s$ の水を $20^{\circ} C$ で入れる。水の比熱は両側とも $4000 J/ (kg \cdot K)$ 、熱通過率は $U = 500 W/ (m^{2} \cdot K)$ で一定とし、外部への熱損失はないものとする。必要な伝熱面積 $A$ [m $^{2}$ ] を正確な値（ $lo g$ を含む式）で求めよ。

例題の解答

【手順 1】高温側の熱容量流量は $0.50 \times 4000 = 2000 W/K$ 、低温側は $1.0 \times 4000 = 4000 W/K$ 。交換熱量は
$Q = 2000 \times (90 - 50) = 8.0 \times 1 0^{4} W$
低温側の出口温度は $4000 \times (T_{c, 出} - 20) = 8.0 \times 1 0^{4}$ より $T_{c, 出} = 40^{\circ} C$ 。

【手順 2】向流なので、高温入口の端では $Δ T_{1} = 90 - 40 = 50 K$ 、高温出口の端では $Δ T_{2} = 50 - 20 = 30 K$ 。

【手順 3】
$Δ T_{l m} = \frac{50 - 30}{lo g ( 50/30 )} = \frac{20}{lo g \frac{5}{3}} K (\approx 39.2 K)$

【手順 4】
$A = \frac{Q}{U Δ T _{l m}} = \frac{8.0 \times 1 0 ^{4}}{500 \times \frac{20}{lo g \frac{5}{3}}} = 8 lo g \frac{5}{3} m^{2} (\approx 4.09 m^{2})$

答え: $8 lo g \frac{5}{3}$

よくある誤り

向流で温度差を「入口どうし・出口どうし」でとってしまう誤り。例題で $90 - 20 = 70$ 、 $50 - 40 = 10$ とすると $Δ T_{l m} = \frac{60}{lo g 7} \approx 30.8 K$ となり誤り。正しくは同じ端で向かい合う温度の差で、 $Δ T_{1} = 90 - 40 = 50$ 、 $Δ T_{2} = 50 - 20 = 30$
対数平均の代わりに算術平均 $\frac{Δ T _{1} + Δ T _{2}}{2}$ を使ってしまう誤り。例題では $40 K$ となり、正しい $Δ T_{l m} = \frac{20}{lo g ( 5/3 )} \approx 39.2 K$ より大きく、必要面積を小さく見積もる（両端の差が大きいほどずれは大きい）
分子と分母の順をそろえずに $\frac{Δ T _{1} - Δ T _{2}}{lo g ( Δ T _{2} /Δ T _{1} )}$ として負の値にしてしまう誤り。正しくは分子と同じ順で $lo g (Δ T_{1} /Δ T_{2})$ とし、 $Δ T_{l m} > 0$ になる
熱収支で比熱や質量流量を掛け忘れ、両流体の温度変化が等しい（ $90 - 50 = T_{c, 出} - 20$ で $T_{c, 出} = 60^{\circ} C$ ）としてしまう誤り。正しくは $m ˙_{h} c_{h} Δ T_{h} = m ˙_{c} c_{c} Δ T_{c}$ で、例題では $2000 \times 40 = 4000 \times Δ T_{c}$ より $Δ T_{c} = 20 K$

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
向流形の二重管式熱交換器で、高温の油を水で冷却している。油は $150^{\circ} C$ で入って $90^{\circ} C$ で出ていき、水は $30^{\circ} C$ で入って $70^{\circ} C$ で出ていく。熱通過率は $U = 500 W/(m^{2} \cdotK)$ 、伝熱面積は $A = 4.0 m^{2}$ で、どちらも一定とする。運転は定常で、外部への熱損失はないものとする。この熱交換器の交換熱量 $Q$ [kW] を、自然対数 $lo g$ を用いた正確な値で求めよ。

熱交換器の対数平均温度差

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題