対流熱伝達と熱通過率

ニュートンの冷却則 $q = h (T_{w} - T_{f})$ の対流抵抗 $1/ h$ を壁の伝導抵抗と直列に合成し、熱通過率 $U = 1/ (\frac{1}{h _{1}} + \sum \frac{L _{i}}{k _{i}} + \frac{1}{h _{2}})$ と流体間の熱流束・壁面温度を求められる

前提

平板の熱伝導と熱抵抗（大学物理熱工学・伝熱）

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平板の熱伝導と熱抵抗（大学物理熱工学・伝熱）

説明

壁の片側に高温の流体（室内の空気、ボイラーの燃焼ガスなど）、反対側に低温の流体（外気、水など）があるとき、熱は「流体から壁面へ」「壁の中」「壁面から流体へ」と順に伝わります。この技能では、流体と壁面の間の熱の伝わりやすさを熱伝達率 $h$ で表し、その逆数 $1/ h$ を熱抵抗として壁の伝導抵抗と直列に足し合わせます。こうして、両側の流体の温度だけから熱流束と壁面の温度を求められ、全体の熱の通しやすさを熱通過率 $U$ という 1 つの数で表せます。窓や外壁の断熱性能、熱交換器の伝熱計算などで使います。

なぜそうしてよいのか

流れている流体と固体の壁面の間では、壁のすぐ近くの流体の薄い層を通して熱が伝わり、その先は流体の流れが熱を運びます（対流熱伝達）。このとき壁面から流体へ流れる熱流束 $q [W/ m^{2}]$ は、壁面温度 $T_{w}$ と、壁から十分離れた所の流体の温度 $T_{f}$ の差にほぼ比例することが知られています。そこで比例定数を熱伝達率 $h [W/ (m^{2} \cdot K)]$ として $q = h (T_{w} - T_{f})$ と書きます（ニュートンの冷却則）。 $h$ は物性値ではなく、流体の種類や流れの速さで決まる値で、問題文で与えられます。

この式を $q = \frac{T _{w} - T _{f}}{1/ h}$ と書き直すと、平板の熱伝導 $q = \frac{T _{1} - T _{2}}{L / k}$ と同じ「温度差 ÷ 熱抵抗」の形です。つまり対流による伝熱は熱抵抗 $1/ h [m^{2} \cdot K/W]$ とみなせます。

高温流体（温度 $T_{f 1}$ 、熱伝達率 $h_{1}$ ）→ 壁（各層の厚さ $L_{i}$ 、熱伝導率 $k_{i}$ ）→ 低温流体（温度 $T_{f 2}$ 、熱伝達率 $h_{2}$ ）と熱が流れるとき、定常状態では途中で熱がたまらないので、どの部分も同じ熱流束 $q$ が通ります。直列につないだ抵抗に同じ電流が流れるのと同じなので、各部分の温度差 $q R$ を足し合わせると
$T_{f 1} - T_{f 2} = q (\frac{1}{h _{1}} + \sum \frac{L _{i}}{k _{i}} + \frac{1}{h _{2}})$
です。全熱抵抗の逆数を熱通過率 $U = 1 / (\frac{1}{h _{1}} + \sum \frac{L _{i}}{k _{i}} + \frac{1}{h _{2}}) [W/ (m^{2} \cdot K)]$ と定義すると、 $q = U (T_{f 1} - T_{f 2})$ と簡潔に書けます。

手順

熱の通り道を、高温流体側の対流抵抗 $\frac{1}{h _{1}}$ 、壁の各層の伝導抵抗 $\frac{L _{i}}{k _{i}}$ （厚さは m に直す）、低温流体側の対流抵抗 $\frac{1}{h _{2}}$ に分けて、それぞれ計算する。
全熱抵抗 $R_{total} = \frac{1}{h _{1}} + \sum \frac{L _{i}}{k _{i}} + \frac{1}{h _{2}}$ を求め、熱通過率 $U = \frac{1}{R _{total}}$ を求める。
両側の流体の温度差から熱流束 $q = U (T_{f 1} - T_{f 2})$ を求める。
壁面温度は、流体の温度から対流抵抗ぶんの温度差を引いて（足して）求める: 高温側 $T_{w 1} = T_{f 1} - \frac{q}{h _{1}}$ 、低温側 $T_{w 2} = T_{f 2} + \frac{q}{h _{2}}$ 。

例題

厚さ $5.0 mm$ 、熱伝導率 $1.0 W/ (m \cdot K)$ の 1 枚ガラスの窓がある。室内の空気の温度は $20^{\circ} C$ 、屋外の空気の温度は $2^{\circ} C$ で、室内側の熱伝達率は $8.0 W/ (m^{2} \cdot K)$ 、屋外側の熱伝達率は $20 W/ (m^{2} \cdot K)$ である。定常状態で熱はガラスの厚さ方向にだけ流れ、放射による伝熱は無視できるとする。ガラスの室内側の表面温度は何 $^{\circ} C$ か求めよ。

例題の解答

手順 1: 室内側の対流抵抗は $\frac{1}{8.0} = 0.125 m^{2} \cdot K/W$ 、ガラスの伝導抵抗は $\frac{0.0050}{1.0} = 0.005 m^{2} \cdot K/W$ 、屋外側の対流抵抗は $\frac{1}{20} = 0.05 m^{2} \cdot K/W$ 。

手順 2: 全熱抵抗は $0.125 + 0.005 + 0.05 = 0.18 m^{2} \cdot K/W$ 、熱通過率は $U = \frac{1}{0.18} \approx 5.6 W/ (m^{2} \cdot K)$ 。

手順 3: 熱流束は $q = \frac{20 - 2}{0.18} = 100 W/ m^{2}$ 。

手順 4: 室内側の表面温度は $T_{w 1} = 20 - \frac{100}{8.0} = 20 - 12.5 = 7.5^{\circ} C$ 。

（確かめ: 屋外側の表面温度は $2 + \frac{100}{20} = 7.0^{\circ} C$ で、ガラスの中の温度差 $7.5 - 7.0 = 0.5 K$ は $q \times 0.005 = 0.5 K$ と一致する。）

答え: $7.5$

よくある誤り

熱伝達率をそのまま熱抵抗として足し、 $R = h_{1} + \frac{L}{k} + h_{2}$ としてしまう誤り。熱伝達率は熱の通しやすさなので、抵抗はその逆数で、正しくは $R = \frac{1}{h _{1}} + \frac{L}{k} + \frac{1}{h _{2}}$ 。
熱通過率を各部分の通しやすさの和で $U = h_{1} + \frac{k}{L} + h_{2}$ としてしまう誤り。直列なので足すのは抵抗で、正しくは $U = 1 / (\frac{1}{h _{1}} + \frac{L}{k} + \frac{1}{h _{2}})$ 。
壁面温度を流体の温度と同じとみなし、壁の両面の温度差 $T_{f 1} - T_{f 2}$ を伝導だけに使って $q = \frac{k ( T _{f 1} - T _{f 2} )}{L}$ としてしまう誤り。流体と壁面の間にも温度差 $\frac{q}{h}$ があるので、正しくは $q = \frac{T _{f 1} - T _{f 2}}{1/ h _{1} + L / k + 1/ h _{2}}$ （例題なら $3600 W/ m^{2}$ ではなく $100 W/ m^{2}$ ）。
低温側の壁面温度を $T_{w 2} = T_{f 2} - \frac{q}{h _{2}}$ と逆向きに計算してしまう誤り。熱は壁面から低温流体へ流れるので壁面の方が高温で、正しくは $T_{w 2} = T_{f 2} + \frac{q}{h _{2}}$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
厚さ $L = 0.060 m$ 、熱伝導率 $k = 1.2 W/ (m \cdot K)$ の平らな壁が、温度 $20^{\circ} C$ の室内の空気と温度 $0^{\circ} C$ の屋外の空気を隔てている。室内側の熱伝達率は $h_{1} = 10 W/ (m^{2} \cdot K)$ 、屋外側の熱伝達率は $h_{2} = 20 W/ (m^{2} \cdot K)$ である。定常状態で、室内の空気から屋外の空気へ壁を通って流れる熱流束（単位面積あたりの熱流量）は何 $W/ m^{2}$ か。整数で答えよ。ただし、熱は壁の厚さ方向にだけ 1 次元的に流れ、放射による熱の移動は考えないものとする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

円筒の熱伝導と保温（大学物理熱工学・伝熱）
内部発熱のある平板の熱伝導（大学物理熱工学・伝熱）
熱交換器の対数平均温度差（大学物理熱工学・伝熱）