熱工学・伝熱の問題

プレート式熱交換器の 1 枚の伝熱板（十分に広い平板）を考える。伝熱板はステンレス鋼製で、厚さ $8.0\text{mm}$、熱伝導率 $16\text{W/(m}\cdot \text{K)}$ である。板の一方の側には温度 $85{}^{\circ }\text{C}$ の温水が、反対側には温度 $15{}^{\circ }\text{C}$ の冷水が流れている。温水と板の表面の間の熱伝達率は $500{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$、冷水と板の表面の間の熱伝達率は $400{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ である。

熱の流れは定常で、板に垂直な 1 次元の流れとみなし、放射による伝熱と板の汚れによる熱抵抗は無視する。また、温水・冷水の温度は板に沿って一様とする。このとき、伝熱板の冷水側の表面温度は何 ${}^{\circ }\text{C}$ か。整数で求めよ。

十分に長い薄肉の円管（外半径 $r_1=5.0\text{mm}$）の内部を温水が流れ、管の外は空気である。管壁は十分に薄く、その熱抵抗は無視でき、管の内面と外面の半径はともに $r_1$ とみなす。

• 管内の温水と管壁の間の熱伝達率: $h_i=1000{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$
• 外表面と外気の間の熱伝達率（放射の効果も含めたもの）: $h_o=10{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$

この管の外側に、熱伝導率 $k=0.10\text{W/(m}\cdot \text{K)}$ の保温材を、外半径が $r_2=10\text{mm}$ になるように同心円筒状に巻いた。保温材を巻いた後も、温水の温度、外気の温度、熱伝達率 $h_i,h_o$ の値は変わらないものとする。また、熱の流れは定常で、半径方向だけに起こるものとし、管と保温材の接触熱抵抗は無視する。

保温材を巻いた後の管の単位長さあたりの放熱量を $Q_2^{\prime }$、巻く前の単位長さあたりの放熱量を $Q_1^{\prime }$ とするとき、比 $\frac{Q_2^{\prime }}{Q_1^{\prime }}$ を求めよ。答えは自然対数 $\log$ を含む正確な値で答えよ。

十分に広い 2 層の平板からなる壁を考える。壁に垂直に $x$ 軸をとる。

• 層 A（$0\le x\le L_A$）: 熱伝導率 $k_A$ の材料で、内部で単位体積・単位時間あたり一様に $q_v$（$q_v>0$）の熱が発生している。面 $x=0$ は断熱されている。
• 層 B（$L_A\le x\le L_A+L_B$）: 熱伝導率 $k_B$ の材料で、内部発熱はない。
• 層 A と層 B の接触面には、単位面積あたりの接触熱抵抗 $R_c$ がある。
• 面 $x=L_A+L_B$ は温度 $T_f$ の流体に接しており、熱伝達率 $h$ の対流熱伝達で熱を放出している。

熱伝導率・熱伝達率・接触熱抵抗はいずれも温度によらない正の定数とし、温度は $x$ だけに依存する定常状態にあるとする。放射による熱移動は無視する。このとき、壁内の最高温度 $T_{\text{max}}$ を $q_v,L_A,L_B,k_A,k_B,R_c,h,T_f$ を用いて表せ。

ボイラーの伝熱面の一部を、十分に広い平らな鋼板とみなす。鋼板の厚さは $12\text{mm}$、熱伝導率は $48\text{W/(m}\cdot \text{K)}$ である。鋼板の一方の側には温度 $610{}^{\circ }\text{C}$ の燃焼ガスが流れ、もう一方の側には温度 $200{}^{\circ }\text{C}$ の水がある。ここで、燃焼ガスと水の温度は、壁から十分に離れた主流での温度である。

水と鋼板の間の熱伝達率は $4000{\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ であることがわかっている。一方、燃焼ガスと鋼板の間の熱伝達率はわかっていない。そこで、定常状態で鋼板の水側の表面温度を測定したところ、$205{}^{\circ }\text{C}$ であった。

熱は鋼板に垂直な方向にのみ 1 次元的に流れるものとし、鋼板の熱伝導率および両側の熱伝達率は一定とする。ガス側の放射による伝熱は、ガス側の熱伝達率に含まれているものとする。また、鋼板の表面の汚れによる熱抵抗は無視する。

このとき、燃焼ガスから水への熱通過率（総括熱伝達率）を ${\text{W/(m}}^2\cdot \text{K)}$ の単位で求め、既約分数で答えよ。

室内と屋外を隔てる窓に、複層ガラスを用いる。複層ガラスは、室内側から順に次の 3 層からなる十分に広い平板とみなす。

• ガラス板: 厚さ $4.0\mathrm{mm}$、熱伝導率 $0.80W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$
• 中空層（乾燥空気の層）: 熱抵抗（単位面積あたり）$0.125{\mathrm{m}}^2\cdot K/W$
• ガラス板: 厚さ $4.0\mathrm{mm}$、熱伝導率 $0.80W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$

室内側の表面と室内空気の間の熱伝達率は $8.0W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$、屋外側の表面と外気の間の熱伝達率は $25W/({\mathrm{m}}^2\cdot \mathrm{K})$ である。室内空気の温度は $20{}^{\circ }\mathrm{C}$ に保たれ、その露点温度は $10{}^{\circ }\mathrm{C}$ である。熱の流れは定常で、窓の面に垂直な 1 次元の流れとみなし、放射による熱の移動は熱伝達率に含めて考える。

室内側のガラス表面の温度が露点温度 $10{}^{\circ }\mathrm{C}$ を下回らない（結露しない）ような外気温度の最低値は何 ${}^{\circ }\mathrm{C}$ か。整数で求めよ。