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熱工学・伝熱の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理熱工学・伝熱

十分に広い 2 層の平板からなる壁を考える。壁に垂直に $x$ 軸をとる。

層 A（ $0 \leq x \leq L_{A}$ ）: 熱伝導率 $k_{A}$ の材料で、内部で単位体積・単位時間あたり一様に $q_{v}$ （ $q_{v} > 0$ ）の熱が発生している。面 $x = 0$ は断熱されている。
層 B（ $L_{A} \leq x \leq L_{A} + L_{B}$ ）: 熱伝導率 $k_{B}$ の材料で、内部発熱はない。
層 A と層 B の接触面には、単位面積あたりの接触熱抵抗 $R_{c}$ がある。
面 $x = L_{A} + L_{B}$ は温度 $T_{f}$ の流体に接しており、熱伝達率 $h$ の対流熱伝達で熱を放出している。

熱伝導率・熱伝達率・接触熱抵抗はいずれも温度によらない正の定数とし、温度は $x$ だけに依存する定常状態にあるとする。放射による熱移動は無視する。このとき、壁内の最高温度 $T_{max}$ を $q_{v}, L_{A}, L_{B}, k_{A}, k_{B}, R_{c}, h, T_{f}$ を用いて表せ。

この問題で使うもの

内部発熱のある平板の熱伝導（説明と入口の問題）
平板の熱伝導と熱抵抗（説明と入口の問題）
対流熱伝達と熱通過率（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（56 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

層 A は内部発熱のある平板として熱伝導方程式を解き、層 A の右端から流体までは発熱のない部分として熱抵抗の直列接続で扱います。

ヒント 2

層 A では $k_{A} T^{''} + q_{v} = 0$ 、断熱面では $T^{'} = 0$ です。また定常状態では、層 A で発生した熱 $q_{v} L_{A}$ （単位面積あたり）がすべて接触面を通過します。

ヒント 3

層 A の温度は $T (x) = T (0) - \frac{q _{v}}{2 k _{A}} x^{2}$ で、 $x = 0$ が最高温度です。接触面から流体までの熱抵抗は $R_{c} + \frac{L _{B}}{k _{B}} + \frac{1}{h}$ で、そこを熱流束 $q_{v} L_{A}$ が流れます。

答えと解説

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T_{f} + q_{v} L_{A} (\frac{1}{h} + \frac{L _{B}}{k _{B}} + R_{c}) + \frac{q _{v} L _{A}^{2}}{2 k _{A}}

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解説を読む

層 A の温度分布
層 A では定常・一次元で一様な内部発熱があるので、フーリエの法則とエネルギー保存から熱伝導方程式は
$k_{A} \frac{d ^{2} T}{d x ^{2}} + q_{v} = 0$
となる。2 回積分すると
$T (x) = - \frac{q _{v}}{2 k _{A}} x^{2} + C_{1} x + C_{2}$
面 $x = 0$ が断熱なので熱流束が $0$ 、すなわち $\frac{d T}{d x}_{x = 0} = 0$ より $C_{1} = 0$ 。よって
$T (x) = T (0) - \frac{q _{v}}{2 k _{A}} x^{2}$
となり、層 A の温度は $x = 0$ で最大で、 $x$ とともに単調に下がる。

接触面を通る熱流束
定常状態では、層 A で発生した熱はすべて $x = L_{A}$ の面を通って層 B 側へ流れる（ $x = 0$ は断熱だから）。単位面積あたりで考えると、接触面の熱流束は
$q^{''} = q_{v} L_{A}$
実際、 $q^{''} = - k_{A} \frac{d T}{d x}_{x = L_{A}} = k_{A} \cdot \frac{q _{v} L _{A}}{k _{A}} = q_{v} L_{A}$ で一致する。

層 A の両端の温度差
$T (0) - T (L_{A}) = \frac{q _{v} L _{A}^{2}}{2 k _{A}}$

接触面から流体までの熱抵抗
層 B には内部発熱がないので、定常状態では層 B 内の熱流束は $x$ によらず $q^{''} = q_{v} L_{A}$ で一定である。したがって、層 A の右端（温度 $T (L_{A})$ ）から流体（温度 $T_{f}$ ）までは、単位面積あたりの熱抵抗
- 接触熱抵抗: $R_{c}$
- 層 B の伝導熱抵抗: $\frac{L _{B}}{k _{B}}$
- 表面の対流熱抵抗: $\frac{1}{h}$

が直列につながっている。よって
$T (L_{A}) - T_{f} = q^{''} (R_{c} + \frac{L _{B}}{k _{B}} + \frac{1}{h}) = q_{v} L_{A} (R_{c} + \frac{L _{B}}{k _{B}} + \frac{1}{h})$

最高温度
層 B 内や流体側の温度は $T (L_{A})$ より低いので、壁内の最高温度は $x = 0$ での温度である。以上を足し合わせて
$T_{max} = T (0) = T_{f} + q_{v} L_{A} (\frac{1}{h} + \frac{L _{B}}{k _{B}} + R_{c}) + \frac{q _{v} L _{A}^{2}}{2 k _{A}}$

別解

$x = 0$ は断熱なので、層 A 内の熱流束は $x$ 方向に増え、 $q (x) = q_{v} x$ 。接触面 $x = L_{A}$ での熱流束は $q = q_{v} L_{A}$ （定常なので層 B・接触面・対流面でも同じ値、単位面積あたり）。
層 A 内の温度: $k_{A} T^{''} = - q_{v}$ 、 $T^{'} (0) = 0$ より $T (x) = T (0) - \frac{q _{v} x ^{2}}{2 k _{A}}$ 。 $T^{'} \leq 0$ なので $x = 0$ が最高温度。 $T (0) - T (L_{A}^{-}) = \frac{q _{v} L _{A}^{2}}{2 k _{A}}$ 。
接触面での温度降下: $Δ T_{c} = q R_{c} = q_{v} L_{A} R_{c}$ 。
層 B（発熱なし）の温度降下: $Δ T_{B} = \frac{q L _{B}}{k _{B}} = \frac{q _{v} L _{A} L _{B}}{k _{B}}$ 。
対流面の温度降下: $T_{s} - T_{f} = \frac{q}{h} = \frac{q _{v} L _{A}}{h}$ 。
足し合わせて
$T_{max} = T (0) = T_{f} + q_{v} L_{A} (\frac{1}{h} + \frac{L _{B}}{k _{B}} + R_{c}) + \frac{q _{v} L _{A}^{2}}{2 k _{A}} .$
検算: 全体の熱収支で、層 A で発生した総熱量 $q_{v} L_{A}$ が全部 $x = L_{A} + L_{B}$ から $h (T_{s} - T_{f})$ として出ていくので $T_{s} - T_{f} = q_{v} L_{A} / h$ と一致。各項の次元は温度（ $q_{v} L_{A} / h$ は W/m $^{3} \cdot$ m / (W/m $^{2}$ K) = K）。

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