熱工学・伝熱の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理熱工学・伝熱

断面が 1 辺 $w = 0.50 m$ の正三角形である、十分に長いダクトがある。ダクトの 3 つの内壁面を面 1, 面 2, 面 3 とする。面 1 は温度 $T_{1} = 1000 K$ 、面 2 は温度 $T_{2} = 500 K$ に保たれており、どちらも放射率 $ε = 0.60$ の拡散灰色面である。面 3 は外側が完全に断熱された再放射面（正味の放射伝熱量が $0$ の面）である。ダクト内部は真空で、放射を吸収・放出しない。ダクトの長さは十分に長く、端の影響は無視する。各面の温度とラジオシティはその面上で一様とし、ステファン・ボルツマン定数を $σ = 5.67 \times 1 0^{- 8} W/(m^{2} \cdot K^{4})$ とする。

ダクトの長さ $1 m$ あたり、面 1 から面 2 へ正味に移動する放射伝熱量は何 $W/m$ か。有効数字 3 桁で求めよ。

この問題で使うもの

灰色面の閉空間の放射回路網（説明と入口の問題）
形態係数（説明と入口の問題）
ステファン・ボルツマンの法則と灰色面の放射（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの問題で使う技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

3 つの面の形態係数を、総和則と正三角形の対称性から求めよう。そのうえで、灰色面の閉空間を放射回路（表面抵抗と空間抵抗）で表そう。

ヒント 2

再放射面 3 は正味の伝熱量が 0 なので、 $J_{1}$ と $J_{2}$ の間は「直接の空間抵抗 $\frac{1}{w F _{12}}$ 」と「面 3 を経由する $\frac{1}{w F _{13}} + \frac{1}{w F _{23}}$ 」の並列になる。これに面 1, 2 の表面抵抗 $\frac{1 - ε}{εw}$ を直列につなぐ。

ヒント 3

$F_{12} = F_{13} = F_{23} = \frac{1}{2}$ より並列部分の抵抗は $\frac{4}{3 w}$ 、表面抵抗は 2 つ合わせて $\frac{4}{3 w}$ なので全抵抗は $\frac{8}{3 w}$ 。あとは $Q^{'} = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{R}$ に数値を代入する。

答えと解説

答えを見る

9.97 \times 1 0^{3}

結果を記録する（このブラウザにだけ保存されます）:

解説を読む

形態係数

面 $i$ から面 $j$ への形態係数を $F_{ij}$ とする。各面は平面なので自分自身は見えず $F_{11} = F_{22} = F_{33} = 0$ である。総和則から
$F_{12} + F_{13} = 1$
正三角形の対称性から $F_{12} = F_{13}$ なので $F_{12} = F_{13} = \frac{1}{2}$ 。同様に $F_{21} = F_{23} = F_{31} = F_{32} = \frac{1}{2}$ である（交差線法を使っても $F_{12} = \frac{w + w - w}{2 w} = \frac{1}{2}$ となる）。

長さ $1 m$ あたりの各面の面積は $A_{1} = A_{2} = A_{3} = w$ である。

放射回路

拡散灰色面からなる閉空間なので、放射回路（抵抗網）で考えられる。黒体放射能 $E_{bi} = σ T_{i}^{4}$ 、ラジオシティ $J_{i}$ として
- 表面抵抗（面 1, 2）: $R_{1} = R_{2} = \frac{1 - ε}{εw}$
- 空間抵抗: $R_{12} = \frac{1}{w F _{12}} = \frac{2}{w}$ , $R_{13} = R_{23} = \frac{2}{w}$

面 3 は再放射面で正味の伝熱量が $0$ なので、 $J_{3}$ は浮いた節点となり、面 3 の表面抵抗には電流が流れない。したがって $J_{1}$ と $J_{2}$ の間は、直接の経路 $R_{12}$ と、面 3 を経由する経路 $R_{13} + R_{23}$ の並列接続になる。

並列部分の合成コンダクタンスは
$\frac{1}{R _{12}} + \frac{1}{R _{13} + R _{23}} = \frac{w}{2} + \frac{w}{4} = \frac{3 w}{4}$
よって並列部分の抵抗は $\frac{4}{3 w}$ である。

全抵抗は
$R = \frac{1 - ε}{εw} \times 2 + \frac{4}{3 w} = \frac{1}{w} (\frac{2 ( 1 - ε )}{ε} + \frac{4}{3})$
$ε = 0.60$ のとき $\frac{2 ( 1 - ε )}{ε} = \frac{2 \times 0.40}{0.60} = \frac{4}{3}$ なので
$R = \frac{1}{w} (\frac{4}{3} + \frac{4}{3}) = \frac{8}{3 w}$

伝熱量

$Q^{'} = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{R} = \frac{3 w σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{8}$
ここで $T_{1}^{4} = 1.0 \times 1 0^{12} K^{4}$ , $T_{2}^{4} = 6.25 \times 1 0^{10} K^{4}$ より $T_{1}^{4} - T_{2}^{4} = 9.375 \times 1 0^{11} K^{4}$ 。
$σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4}) = 5.67 \times 1 0^{- 8} \times 9.375 \times 1 0^{11} = 5.3156 \times 1 0^{4} W/m^{2}$
$Q^{'} = \frac{3 \times 0.50}{8} \times 5.3156 \times 1 0^{4} = 9.967 \times 1 0^{3} W/m$

よって有効数字 3 桁で $9.97 \times 1 0^{3} W/m$ である。

別解

断面は正三角形で 3 辺の長さが等しいので、形態係数は $F_{12} = F_{13} = F_{23} = \frac{1}{2}$ である（ $F_{12} = \frac{L _{1} + L _{2} - L _{3}}{2 L _{1}} = \frac{1}{2}$ ）。長さ 1 m あたりの面積は $A = w \times 1 = 0.50 m^{2}$ 。

黒体放射能: $E_{b 1} = σ T_{1}^{4} = 5.67 \times 1 0^{- 8} \times 1 0^{12} = 56700 W/m^{2}$ 、 $E_{b 2} = σ T_{2}^{4} = 5.67 \times 1 0^{- 8} \times 6.25 \times 1 0^{10} = 3543.75 W/m^{2}$ 。差は $53156.25 W/m^{2}$ 。

放射ネットワーク（単位長さあたり）:
- 表面抵抗: $\frac{1 - ε}{ε A} = \frac{0.40}{0.60 \times 0.50} = \frac{4}{3} m^{- 2}$ （面 1, 2 それぞれ）
- 空間抵抗: $\frac{1}{A F _{12}} = \frac{1}{0.50 \times 0.5} = 4$ （1-2, 1-3, 3-2 いずれも同じ）
- 再放射面 3 は正味の熱流がないので、1-3-2 の直列経路 $4 + 4 = 8$ が 1-2 の直接経路 $4$ と並列になる: $(\frac{1}{4} + \frac{1}{8})^{- 1} = \frac{8}{3}$

全抵抗: $R = \frac{4}{3} + \frac{8}{3} + \frac{4}{3} = \frac{16}{3}$ 。

$q_{12} = \frac{E _{b 1} - E _{b 2}}{R} = \frac{53156.25 \times 3}{16} \approx 9966.8 W/m \approx 9.97 \times 1 0^{3} W/m$ 。

検算: 面 3 を含めない場合の直接経路だけなら $R = \frac{4}{3} + 4 + \frac{4}{3} = 6.67$ で約 7970 W/m となり、再放射面があることで伝熱量が増えることとも整合する。

この問題の確認

AI が作成した問題です。公開前に次の確認を行いました。

別の AI が答えを見ずに 3 回解き、3 回とも同じ答えになりました
プログラムで答えを計算し直し、一致を確認しました
AI の査読で、条件・解説・表記を確認しました
答えの正しさについて慎重に扱うべき点が見つからなかったため、自動で公開しました

確認の方法について

間違いを報告する

この問題の誤り・分かりにくい点・難易度や学年のずれを知らせる