形態係数

総和則 $\sum_{j} F_{ij} = 1$ 、相反則 $A_{i} F_{ij} = A_{j} F_{j i}$ 、平面・凸面の $F_{ii} = 0$ と対称性を使って閉空間の形態係数（正三角形ダクトの $F = \frac{1}{2}$ 、円板と半球の $F_{12} = 1$ , $F_{21} = \frac{1}{2}$ など）を求め、2 次元のダクトでは交差ひも法 $F_{12} = \frac{( 交差するひもの長さの和 ) - ( 交差しないひもの長さの和 )}{2 L _{1}}$ を使って、正方形ダクトの隣り合う面 $F = \frac{2 - 2}{2}$ ・向かい合う面 $F = 2 - 1$ などを求められる

前提

ステファン・ボルツマンの法則と灰色面の放射（大学物理熱工学・伝熱）
三角比の定義と値（数学I 図形と計量）

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算数中学高校大学大学院

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三角比の定義と値（数学I 図形と計量）

説明

形態係数 $F_{ij}$ は、面 $i$ から出ていく放射のうち、途中で何にも当たらずに直接面 $j$ に届く割合です。面どうしの放射伝熱量は面の温度や放射率だけでなく、面どうしの向きや距離（見え方）で変わるので、その幾何学的な効果をこの 1 つの数に閉じ込めます。この技能では、面積分などの計算をせずに、総和則・相反則・平らな面の性質・対称性、それに長いダクトでの交差ひも法を組み合わせて、閉じた空間（閉空間）の形態係数を求めます。炉内やダクト内の放射伝熱の計算の土台になります。

なぜそうしてよいのか

ここでは、各面から出ていく放射はどの向きにも同じように広がる（拡散面）とし、形態係数は面の形と配置だけで決まり、温度や放射率によらないとします。とくに、2 つの面の間に放射をさえぎるものがなければ、 $F_{ij}$ はその 2 面の形と位置だけで決まり、まわりにほかのどんな面があっても変わりません。

【総和則】いくつかの面で囲まれた閉空間では、面 $i$ から出た放射は必ずどれかの面（自分自身も含む）に届くので、届く割合を全部足すと 1 です: $\sum_{j} F_{ij} = 1$ 。【平面・凸面】平らな面や外側にふくらんだ面（凸面）から出た放射は、自分自身に戻ってこないので $F_{ii} = 0$ です（へこんだ面ではこうならない）。【相反則】面 $i, j$ がどちらも温度 $T$ の黒体だとすると、 $i$ から $j$ に届くエネルギーは $A_{i} F_{ij} σ T^{4}$ 、 $j$ から $i$ に届くのは $A_{j} F_{j i} σ T^{4}$ です。同じ温度の物体の間では正味の熱は移らないので、両者は等しく、 $A_{i} F_{ij} = A_{j} F_{j i}$ です。形態係数は形だけで決まるので、この関係は温度によらずいつでも成り立ちます。【対称性】図形として同じ関係にある面どうしの形態係数は等しくなります。例えば、半径 $r$ の円板（面 1）を半球（面 2）でふたした閉空間では、円板は平面なので $F_{11} = 0$ 、総和則から $F_{12} = 1$ 。相反則から $F_{21} = \frac{A _{1}}{A _{2}} F_{12} = \frac{π r ^{2}}{2 π r ^{2}} = \frac{1}{2}$ です。断面が正三角形の長いダクトでは、各面から見て残り 2 面は対称なので、 $F_{ii} = 0$ と総和則からそれぞれ $\frac{1}{2}$ です。

【交差ひも法】奥行き方向に十分長いダクトでは、どの面も断面の線分で表され、面積は線分の長さ×奥行きに比例するので、相反則は $L_{i} F_{ij} = L_{j} F_{j i}$ と長さで書けます。まず断面が三角形（辺の長さ $L_{1}, L_{2}, L_{3}$ ）のダクトでは、 $a = L_{1} F_{12} = L_{2} F_{21}$ 、 $b = L_{1} F_{13} = L_{3} F_{31}$ 、 $c = L_{2} F_{23} = L_{3} F_{32}$ とおくと、各辺は平面で $F_{ii} = 0$ なので、総和則を長さ倍した式から $a + b = L_{1}$ 、 $a + c = L_{2}$ 、 $b + c = L_{3}$ となり、 $a = \frac{L _{1} + L _{2} - L _{3}}{2}$ 、つまり $F_{12} = \frac{L _{1} + L _{2} - L _{3}}{2 L _{1}}$ です。次に、断面が凸な四角形 $A B C D$ のダクトで、面 1 を辺 $A B$ 、面 2 を向かいの辺 $C D$ とします。 $A B$ は平面なので総和則から
$F_{A B \to C D} = 1 - F_{A B \to B C} - F_{A B \to D A}$
です。 $A B$ と $B C$ の間にはさえぎるものがないので、 $F_{A B \to B C}$ は対角線 $A C$ を仮想的な面として加えた三角形 $A B C$ の中で求めた値と同じで、三角形の結果から $F_{A B \to B C} = \frac{A B + B C - A C}{2 A B}$ 。同様に三角形 $A B D$ で $F_{A B \to D A} = \frac{A B + D A - B D}{2 A B}$ 。これらを代入して $A B$ 倍すると
$A B \cdot F_{A B \to C D} = A B - \frac{A B + B C - A C}{2} - \frac{A B + D A - B D}{2} = \frac{( A C + B D ) - ( B C + D A )}{2}$
となります。 $A C, B D$ は 2 面の端どうしを結んで交差するひも、 $B C, D A$ は交差しないひもなので、 $L_{1} = A B$ として
$F_{12} = \frac{( 交差するひもの長さの和 ) - ( 交差しないひもの長さの和 )}{2 L _{1}}$
が得られます（これが交差ひも法）。ひもは面の端どうしを、間をさえぎるものがないようにまっすぐ張ります。

手順

閉空間を作る面に番号をつけ、各面の面積（長いダクトなら断面の線分の長さ）を求める。
平面・凸面には $F_{ii} = 0$ を使い、対称な面どうしの形態係数は等しいとおく。
総和則 $\sum_{j} F_{ij} = 1$ と相反則 $A_{i} F_{ij} = A_{j} F_{j i}$ で式を立て、未知の形態係数を求める。
長いダクトで 2 面の間の形態係数が直接必要なときは、両面の端どうしをひもで結び、交差ひも法 $F_{12} = \frac{( 交差するひもの和 ) - ( 交差しないひもの和 )}{2 L _{1}}$ を使う（分母は「出発する面」の長さ）。
答えが $0 \leq F_{ij} \leq 1$ にあり、総和則を満たすことを確かめる。

例題

奥行き方向に十分長いダクトがあり、断面は幅 $3 m$ 、高さ $4 m$ の長方形である。ダクトの底面（幅 $3 m$ の面）から天井面（幅 $3 m$ の面）への形態係数を求めよ。ただし、奥行き方向の端の影響は無視できるとする。

例題の解答

手順 1: 断面の長方形の頂点を、底面の両端を $A, B$ 、天井面の両端を $D, C$ （ $A$ の真上が $D$ 、 $B$ の真上が $C$ ）とする。底面（面 1）と天井面（面 2）の長さはどちらも $3 m$ 、2 つの側面はどちらも $4 m$ 。

手順 2: 4 面とも平面なので $F_{ii} = 0$ 。2 つの側面は底面から見て対称なので、底面から各側面への形態係数は等しい。

手順 3: 総和則・相反則だけでは底面から天井面への値が決まらないので、手順 4 の交差ひも法を使う。

手順 4: 底面と天井面の端どうしをひもで結ぶ。交差するひもは対角線 $A C$ と $B D$ で、長さはどちらも $3^{2} + 4^{2} = 5 m$ 。交差しないひもは側面に沿う $A D$ と $B C$ で、長さはどちらも $4 m$ 。交差ひも法より
$F_{12} = \frac{( 5 + 5 ) - ( 4 + 4 )}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

手順 5: $0 \leq \frac{1}{3} \leq 1$ を満たす。（確かめ: 底面から各側面への形態係数は三角形の結果から $\frac{3 + 4 - 5}{2 \times 3} = \frac{1}{3}$ ずつで、底面は平面なので $F_{11} = 0$ 。合計 $0 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = 1$ で総和則を満たす。）

答え: $\frac{1}{3}$

よくある誤り

相反則の面積を逆にかけて $F_{21} = \frac{A _{2}}{A _{1}} F_{12}$ としてしまう誤り。正しくは $A_{1} F_{12} = A_{2} F_{21}$ より $F_{21} = \frac{A _{1}}{A _{2}} F_{12}$ （円板と半球なら $F_{21} = \frac{π r ^{2}}{2 π r ^{2}} \times 1 = \frac{1}{2}$ で、 $2$ にはならない）。
形態係数が対称だと思い込み、面積が違う面どうしでも $F_{12} = F_{21}$ としてしまう誤り。等しいのは $A_{1} F_{12}$ と $A_{2} F_{21}$ で、 $F_{12} = F_{21}$ となるのは $A_{1} = A_{2}$ のときだけ。
へこんだ面（半球の内面など）にも $F_{ii} = 0$ を使ってしまう誤り。へこんだ面から出た放射は自分自身にも届くので、例えば円板と半球の閉空間では半球について $F_{22} = 1 - F_{21} = \frac{1}{2}$ 。
交差ひも法で、交差するひもと交差しないひもを取り違えたり、分母を $2 L_{2}$ にしたりする誤り。正しくは $F_{12} = \frac{( 交差するひもの和 ) - ( 交差しないひもの和 )}{2 L _{1}}$ で、分母は出発する面 1 の長さの 2 倍（例題で分子を $8 - 10$ にすると負になってしまう）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
半径 $r_{1} = 0.10 m$ の球の外表面（面 1）が、半径 $r_{2} = 0.30 m$ の中空の球の内表面（面 2）の中に、同じ中心をもつように置かれている。面 1 と面 2 で閉じた空間ができている。面 2 から出た放射のうち面 2 自身に届く割合、すなわち形態係数 $F_{22}$ を求めよ。答えは既約分数で答えよ。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

灰色面の閉空間の放射回路網（大学物理熱工学・伝熱）