ステファン・ボルツマンの法則と灰色面の放射

黒体の放射能 $E_{b} = σ T^{4}$ と放射率 $ε$ を使って、灰色面の放射量や、小さな物体と大きな囲いの間・無限平行平板の間の正味の放射伝熱量 $q = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{1/ ε _{1} + 1/ ε _{2} - 1}$ を求められる

前提

熱の伝わり方（伝導・対流・放射）（高校物理熱と気体（知識））

この技能までの道筋（6 技能）

算数中学高校大学大学院

読み込み中…

右端（太枠）がこの技能です。左へドラッグすると、さらに前の前提をさかのぼれます。技能を押すと、そこまでの道筋が光ります。

一覧で見る（前提が先）

実験器具の使い方と安全（中学理科化学分野の用語と知識）
状態変化と粒子・融点・沸点・蒸留（中学理科化学分野の用語と知識）
熱運動と絶対温度（高校物理熱と気体（知識））
熱の移動と熱平衡（高校物理熱と気体（知識））
熱膨張（高校物理熱と気体（知識））
熱の伝わり方（伝導・対流・放射）（高校物理熱と気体（知識））

説明

物体の表面は、その絶対温度の 4 乗に比例する量のエネルギーを電磁波として放出しています。この技能では、理想的な放射体（黒体）の放射量 $E_{b} = σ T^{4}$ と、実際の表面がその何割を放射するかを表す放射率 $ε$ を使って、実際の表面（灰色面）の放射量を求めます。さらに、放射を出し合う 2 つの面の間で正味にどれだけの熱が移るかを、小さな物体が大きな部屋や炉の中にある場合と、2 枚の大きな平行平板が向かい合う場合について求めます。高温の炉・配管・真空断熱の放熱の見積もりなどで使います。

なぜそうしてよいのか

入射した放射をすべての波長で完全に吸収する理想的な面を黒体といいます。黒体の表面が単位面積・単位時間に放射するエネルギー（放射能、単位 $W/ m^{2}$ ）は絶対温度 $T$ だけで決まり、 $E_{b} = σ T^{4}$ です（ステファン・ボルツマンの法則、 $σ \approx 5.67 \times 1 0^{- 8} W/ (m^{2} \cdot K^{4})$ ）。実際の面は同じ温度の黒体より少ししか放射しないので、その割合を放射率 $ε (0 < ε \leq 1)$ として、放射量を $E = ε σ T^{4}$ と書きます。放射率が波長によらない面を灰色面といいます。また、入射した放射のうち吸収される割合を吸収率 $α$ とします。一様な温度 $T$ の閉じた容器の中に物体を入れて熱平衡になったとき、物体の温度は変わらないので、物体が吸収するエネルギーと放射するエネルギーは等しくなければなりません。容器の中の放射は黒体の放射と同じ $σ T^{4}$ の強さで物体に入射するので、 $α σ T^{4} = ε σ T^{4}$ 、すなわち $α = ε$ です（キルヒホッフの法則）。灰色面では放射率が波長によらないので、相手の温度が違っても $α = ε$ が使えます。光を通さない面では、吸収されなかった残り $1 - ε$ が反射されます。

【小さな物体と大きな囲い】温度 $T_{2}$ の大きな囲いの中にある、温度 $T_{1}$ ・放射率 $ε_{1}$ の小さな物体を考えます。囲いが物体に比べて十分大きいと、物体から出て囲いで反射された放射が物体に戻る分は無視でき、物体には囲いの温度の黒体と同じ $σ T_{2}^{4}$ の放射が入射します。物体はそのうち $ε_{1} σ T_{2}^{4}$ を吸収し、自分では $ε_{1} σ T_{1}^{4}$ を放射するので、物体の単位表面積あたりの正味の放熱量は $q = ε_{1} σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4})$ です。

【無限平行平板】十分に広い 2 枚の平板 1, 2 が向かい合っていると、一方を出た放射はすべて他方に届きます。各面から出ていく放射（自ら放射する分＋反射する分）を $J_{1}, J_{2}$ とすると
$J_{1} = ε_{1} σ T_{1}^{4} + (1 - ε_{1}) J_{2}, J_{2} = ε_{2} σ T_{2}^{4} + (1 - ε_{2}) J_{1}$
です。正味の伝熱量は $q = J_{1} - J_{2}$ です。1 つ目の式から $q = J_{1} - J_{2} = ε_{1} (σ T_{1}^{4} - J_{2})$ 、つまり $J_{2} = σ T_{1}^{4} - \frac{q}{ε _{1}}$ 。同様に 2 つ目の式から $q = ε_{2} (J_{1} - σ T_{2}^{4})$ 、つまり $J_{1} = σ T_{2}^{4} + \frac{q}{ε _{2}}$ 。これらを $q = J_{1} - J_{2}$ に代入して $q$ について解くと
$q = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{\frac{1}{ε _{1}} + \frac{1}{ε _{2}} - 1}$
が得られます。両面が黒体（ $ε_{1} = ε_{2} = 1$ ）なら分母は $1$ になり、 $q = σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4})$ です。

手順

温度をすべて絶対温度 [K] に直す（ $T = t + 273$ など、問題の指定に従う）。
状況を見分ける: 1 つの面の放射量だけなら $E = ε σ T^{4}$ 、大きな囲いの中の小さな物体なら $q = ε_{1} σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4})$ 、向かい合う無限平行平板なら $q = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{1/ ε _{1} + 1/ ε _{2} - 1}$ を使う。
$T_{1}^{4} - T_{2}^{4}$ を計算する（4 乗してから引く）。
放射率から係数（ $ε$ または分母 $1/ ε_{1} + 1/ ε_{2} - 1$ ）を計算し、 $σ$ とかけて（または割って）単位面積あたりの量 $[W/ m^{2}]$ を求める。
必要なら面積 $A$ をかけて全体の伝熱量 $[W]$ にし、指定の桁数に丸める。

例題

真空中で、十分に広い 2 枚の平板が平行に向かい合っている。一方の平板の温度は $600 K$ 、他方は $300 K$ で、どちらの表面も放射率 $0.50$ の灰色面である。ステファン・ボルツマン定数を $σ = 5.67 \times 1 0^{- 8} W/ (m^{2} \cdot K^{4})$ とするとき、高温の平板から低温の平板へ放射によって正味に伝わる、単位面積あたりの伝熱量は何 $W/ m^{2}$ か。有効数字 2 桁で求めよ。

例題の解答

手順 1: 温度はすでに絶対温度で、 $T_{1} = 600 K$ 、 $T_{2} = 300 K$ 。

手順 2: 向かい合う無限平行平板なので $q = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{1/ ε _{1} + 1/ ε _{2} - 1}$ を使う。

手順 3: $T_{1}^{4} = 60 0^{4} = 1.296 \times 1 0^{11} K^{4}$ 、 $T_{2}^{4} = 30 0^{4} = 8.1 \times 1 0^{9} K^{4}$ なので、 $T_{1}^{4} - T_{2}^{4} = 1.215 \times 1 0^{11} K^{4}$ 。

手順 4: 分母は $\frac{1}{0.50} + \frac{1}{0.50} - 1 = 3$ 。よって
$q = \frac{5.67 \times 1 0 ^{- 8} \times 1.215 \times 1 0 ^{11}}{3} = \frac{6.889 \times 1 0 ^{3}}{3} \approx 2.30 \times 1 0^{3} W/ m^{2}$

手順 5: 単位面積あたりの量を問われているので面積はかけず、有効数字 2 桁に丸めて $2.3 \times 1 0^{3} W/ m^{2}$ 。

答え: $2.3 \times 1 0^{3}$

よくある誤り

温度を摂氏のまま 4 乗してしまう誤り。 $E_{b} = σ T^{4}$ の $T$ は絶対温度なので、例えば $27^{\circ} C$ なら $T = 300 K$ として $30 0^{4}$ を使う。
温度差を先に計算して $(T_{1} - T_{2})^{4}$ としてしまう誤り。正しくはそれぞれ 4 乗してから引いた $T_{1}^{4} - T_{2}^{4}$ で、例題なら $(600 - 300)^{4} = 8.1 \times 1 0^{9}$ ではなく $60 0^{4} - 30 0^{4} = 1.215 \times 1 0^{11}$ 。
平行平板の係数を放射率の積 $ε_{1} ε_{2}$ として $q = ε_{1} ε_{2} σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4})$ としてしまう誤り。2 枚の板の間で反射が何度もくり返されるので、正しくは $q = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{1/ ε _{1} + 1/ ε _{2} - 1}$ （例題なら係数は $0.50 \times 0.50 = 0.25$ ではなく $\frac{1}{3}$ ）。
大きな囲いの中の小さな物体に平行平板の式を使い、囲いの放射率も分母に入れてしまう誤り。囲いが十分大きいときは囲いの放射率によらず、正しくは $q = ε_{1} σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4})$ （物体の表面積あたり）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
表面温度 $T = 500 K$ に保たれた金属板の表面は、放射率 $ε = 0.60$ の灰色面とみなせる。この表面から単位面積・単位時間あたりに放射されるエネルギー（放射能）は何 $W/m^{2}$ か。有効数字 3 桁で答えよ。ただし、ステファン・ボルツマン定数を $σ = 5.67 \times 1 0^{- 8} W/(m^{2} \cdot K^{4})$ とする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

形態係数（大学物理熱工学・伝熱）