熱工学・伝熱の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理熱工学・伝熱

半径 $R = 0.20 m$ の円板（面 1）の上に、同じ半径の半球殻をかぶせて、内部が閉じた空間をつくる。半球殻の内面を面 2 とする。円板の上面と半球殻の内面は、互いにすき間なくつながっており、この 2 つの面だけで閉空間が囲まれている。

面 1: 温度 $T_{1} = 1000 K$ 、放射率 $ε_{1} = 0.80$
面 2: 温度 $T_{2} = 500 K$ 、放射率 $ε_{2} = 0.50$

両面はそれぞれ温度が一様な灰色の拡散面とみなし、閉空間の内部は真空（放射を吸収・放出しない）とする。ステファン・ボルツマン定数を $σ = 5.67 \times 1 0^{- 8} W/(m^{2} \cdot K^{4})$ とする。

定常状態で、面 1 から面 2 へ放射によって正味に移動する熱流量は何 W か。有効数字 2 桁で求めよ。

この問題で使うもの

灰色面の閉空間の放射回路網（説明と入口の問題）
形態係数（説明と入口の問題）
ステファン・ボルツマンの法則と灰色面の放射（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（38 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

面 1 と面 2 の 2 面だけで閉じた空間なので、表面抵抗 $\frac{1 - ε}{ε A}$ と空間抵抗 $\frac{1}{A _{1} F _{12}}$ を直列につないだ放射回路で考えましょう。

ヒント 2

平面の円板は自分自身を見ないので $F_{12} = 1$ です。面積は $A_{1} = π R^{2} \approx 0.126 m^{2}$ 、半球殻の内面は $A_{2} = 2 π R^{2}$ です。

ヒント 3

抵抗を $1/ A_{1}$ 単位で表すと、面 1 の表面抵抗が $0.25$ 、空間抵抗が $1$ 、面 2 の表面抵抗が $0.50$ で、合計 $1.75/ A_{1}$ になります。あとは $Q_{12} = A_{1} σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4}) /1.75$ に数値を入れます。

答えと解説

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3.8 \times 1 0^{3}

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形態係数

面 1 は平面なので、面 1 から出た放射は面 1 自身には当たらず、すべて面 2 に当たる。よって $F_{11} = 0$ 、 $F_{12} = 1$ である。

面積は
$A_{1} = π R^{2} = π \times 0.2 0^{2} = 0.040 π \approx 0.1257 m^{2}, A_{2} = 2 π R^{2} = 0.080 π \approx 0.2513 m^{2}$
相反関係 $A_{1} F_{12} = A_{2} F_{21}$ より $F_{21} = \frac{A _{1}}{A _{2}} = \frac{1}{2}$ 、総和則より $F_{22} = 1 - F_{21} = \frac{1}{2}$ である（半球殻の内面は凹面なので自分自身を見る）。

2 面からなる閉空間の放射交換

両面が灰色拡散面で、閉空間がこの 2 面だけで囲まれているので、各面の射度（ラジオシティ） $J_{1}, J_{2}$ を節点とする放射回路（表面抵抗・空間抵抗・表面抵抗の直列）を使える。面 1 から面 2 への正味の熱流量は
$Q_{12} = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{\frac{1 - ε _{1}}{ε _{1} A _{1}} + \frac{1}{A _{1} F _{12}} + \frac{1 - ε _{2}}{ε _{2} A _{2}}}$
各抵抗を $1/ A_{1}$ を単位にして求めると
$\frac{1 - ε _{1}}{ε _{1} A _{1}} = \frac{0.20}{0.80 A _{1}} = \frac{0.25}{A _{1}}, \frac{1}{A _{1} F _{12}} = \frac{1}{A _{1}}, \frac{1 - ε _{2}}{ε _{2} A _{2}} = \frac{0.50}{0.50 \times 2 A _{1}} = \frac{0.50}{A _{1}}$
よって抵抗の合計は $\frac{1.75}{A _{1}}$ であり、
$Q_{12} = \frac{A _{1} σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{1.75}$

数値計算
$T_{1}^{4} - T_{2}^{4} = 1.000 \times 1 0^{12} - 6.25 \times 1 0^{10} = 9.375 \times 1 0^{11} K^{4}$
$σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4}) = 5.67 \times 1 0^{- 8} \times 9.375 \times 1 0^{11} = 5.3156 \times 1 0^{4} W/m^{2}$
$A_{1} σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4}) = 0.1257 \times 5.3156 \times 1 0^{4} \approx 6.680 \times 1 0^{3} W$
$Q_{12} = \frac{6.680 \times 1 0 ^{3}}{1.75} \approx 3.82 \times 1 0^{3} W$
（正確には $Q_{12} = 0.040 π \times 3.0375 \times 1 0^{4} = 1215 π W$ である。）

確かめ（射度の連立方程式）

$E_{b 1} = σ T_{1}^{4} = 5.67 \times 1 0^{4} W/m^{2}$ 、 $E_{b 2} = σ T_{2}^{4} = 3.544 \times 1 0^{3} W/m^{2}$ とする。上で求めた $Q_{12}$ を使うと、面 1 の表面抵抗での関係 $Q_{12} = \frac{E _{b 1} - J _{1}}{0.25/ A _{1}}$ から $J_{1} = E_{b 1} - \frac{0.25 Q _{12}}{A _{1}} = 5.67 \times 1 0^{4} - 0.25 \times 3.0375 \times 1 0^{4} \approx 4.911 \times 1 0^{4} W/m^{2}$ 、空間抵抗での関係から $J_{2} = J_{1} - \frac{Q _{12}}{A _{1}} \approx 4.911 \times 1 0^{4} - 3.038 \times 1 0^{4} = 1.873 \times 1 0^{4} W/m^{2}$ となる。面 2 の表面抵抗では $\frac{J _{2} - E _{b 2}}{0.50/ A _{1}} = \frac{( 1.873 \times 1 0 ^{4} - 3.544 \times 1 0 ^{3} ) A _{1}}{0.50} \approx 3.04 \times 1 0^{4} A_{1}$ となり、 $Q_{12} / A_{1} = 3.04 \times 1 0^{4} W/m^{2}$ と一致する。

有効数字 2 桁で $3.8 \times 1 0^{3} W$ である。

別解

面 1 は平らな円板なので自分自身を見込まず、放射はすべて半球殻（面 2）に届く。よって形態係数は $F_{12} = 1$ 。面積は $A_{1} = π R^{2} = π (0.20)^{2} = 0.12566 m^{2}$ 、 $A_{2} = 2 π R^{2} = 0.25133 m^{2}$ （ $A_{2} = 2 A_{1}$ ）。

灰色拡散面 2 面からなる閉空間の正味放射熱流量は
$Q_{12} = \frac{σ ( T _{1}^{4} - T _{2}^{4} )}{\frac{1 - ε _{1}}{ε _{1} A _{1}} + \frac{1}{A _{1} F _{12}} + \frac{1 - ε _{2}}{ε _{2} A _{2}}} .$

各抵抗（ $A_{1}$ 当たりに直す）:
- 面 1 の表面抵抗: $\frac{1 - 0.80}{0.80} = 0.25$
- 空間抵抗: $\frac{1}{F _{12}} = 1$
- 面 2 の表面抵抗: $\frac{1 - 0.50}{0.50} \cdot \frac{A _{1}}{A _{2}} = 1 \times 0.5 = 0.5$

合計は $0.25 + 1 + 0.5 = 1.75$ 。

$σ (T_{1}^{4} - T_{2}^{4}) = 5.67 \times 1 0^{- 8} \times (1.0 \times 1 0^{12} - 6.25 \times 1 0^{10}) = 5.67 \times 1 0^{- 8} \times 9.375 \times 1 0^{11} = 5.3156 \times 1 0^{4} W/m^{2}$ 。

$Q_{12} = A_{1} \times \frac{5.3156 \times 1 0 ^{4}}{1.75} = 0.12566 \times 3.0375 \times 1 0^{4} \approx 3.817 \times 1 0^{3} W$ 。

検算: 面 1 の有効放射 $J_{1} = σ T_{1}^{4} - \frac{1 - ε _{1}}{ε _{1}} q_{1}$ ( $q_{1} = Q / A_{1} = 3.0375 \times 1 0^{4}$ ) より $J_{1} = 5.67 \times 1 0^{4} - 0.25 \times 3.0375 \times 1 0^{4} = 4.9106 \times 1 0^{4}$ 。面 2 は $J_{2} = σ T_{2}^{4} + \frac{1 - ε _{2}}{ε _{2}} q_{2}$ で $q_{2} A_{2} = Q$ より $q_{2} = 1.5188 \times 1 0^{4}$ 、 $J_{2} = 3543.75 + 1.5188 \times 1 0^{4} = 1.8731 \times 1 0^{4}$ 。 $J_{1} - J_{2} = 3.0375 \times 1 0^{4} = q_{1} \cdot F_{12}$ となり整合する。

有効数字 2 桁で $Q \approx 3.8 \times 1 0^{3} W$ 。

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