灰色面の閉空間の放射回路網

表面抵抗 $\frac{1 - ε _{i}}{ε _{i} A _{i}}$ と空間抵抗 $\frac{1}{A _{i} F _{ij}}$ を組み合わせた放射回路網（正味の放射伝熱量が 0 の再放射面を浮いた節点として含む）を直列・並列に合成して、ラジオシティと面の間の正味の放射伝熱量を求められる

前提

形態係数（大学物理熱工学・伝熱）
平板の熱伝導と熱抵抗（大学物理熱工学・伝熱）

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算数中学高校大学大学院

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平板の熱伝導と熱抵抗（大学物理熱工学・伝熱）

説明

炉の内壁や長いダクトのように、いくつかの灰色面が互いを見合って閉じた空間をつくるとき、面どうしの正味の放射伝熱量を、電気回路の抵抗の合成と同じ手順で求められるようになります。各面には放射率で決まる「表面抵抗」、面の組には形態係数で決まる「空間抵抗」を割り当て、温度で決まる黒体放射能を電池の電位のように扱います。断熱されていて正味の伝熱量が 0 の面（再放射面）は、どこにもつながらない浮いた節点として回路に入れれば扱えます。

なぜそうしてよいのか

灰色面 $i$ （面積 $A_{i}$ 、放射率 $ε_{i}$ 、温度 $T_{i}$ ）を考えます。この面から単位面積・単位時間に出ていく放射の全体をラジオシティ $J_{i}$ と呼び、自分が出す放射 $ε_{i} E_{bi}$ （ $E_{bi} = σ T_{i}^{4}$ は同じ温度の黒体の放射能）と、入ってくる放射（単位面積あたり $G_{i}$ 、照射と呼ぶ）のうち反射した分の和とします。不透明な灰色面では吸収率が $ε_{i}$ 、反射率が $1 - ε_{i}$ なので $J_{i} = ε_{i} E_{bi} + (1 - ε_{i}) G_{i}$ です。面から正味に出ていく熱は「出ていく分 $-$ 入ってくる分」で $Q_{i} = A_{i} (J_{i} - G_{i})$ 。 $G_{i} = \frac{J _{i} - ε _{i} E _{bi}}{1 - ε _{i}}$ を代入すると
$Q_{i} = \frac{E _{bi} - J _{i}}{\frac{1 - ε _{i}}{ε _{i} A _{i}}}$
となります。これは「電位差 $E_{bi} - J_{i}$ を抵抗 $\frac{1 - ε _{i}}{ε _{i} A _{i}}$ で割ると電流 $Q_{i}$ 」というオームの法則と同じ形で、この抵抗を表面抵抗と呼びます（黒体 $ε_{i} = 1$ では 0 で、 $J_{i} = E_{bi}$ ）。

次に面 $i$ から面 $j$ へ直接向かう放射は、 $i$ を出る全放射 $A_{i} J_{i}$ のうち割合 $F_{ij}$ の分なので $A_{i} F_{ij} J_{i}$ 、逆向きは $A_{j} F_{j i} J_{j}$ です。相反則 $A_{i} F_{ij} = A_{j} F_{j i}$ を使うと、 $i$ から $j$ へ直接移る正味の伝熱量は
$Q_{ij} = A_{i} F_{ij} (J_{i} - J_{j}) = \frac{J _{i} - J _{j}}{\frac{1}{A _{i} F _{ij}}}$
となり、これも抵抗 $\frac{1}{A _{i} F _{ij}}$ （空間抵抗）を流れる電流の形です。ここで $Q_{ij}$ は 1 本の空間抵抗を流れる「直接の」伝熱量で、面 $i$ から出る正味の伝熱量 $Q_{i}$ とは区別します。こうして、各面の $E_{bi}$ を電源の電位、 $J_{i}$ を節点の電位とする回路ができ、各節点では電流の保存（ $Q_{i} = \sum_{j} Q_{ij}$ ）が成り立ちます。

断熱されていて正味の伝熱量が 0 の面（再放射面）では $Q_{i} = 0$ なので、表面抵抗に電流が流れず $J_{i} = E_{bi}$ となります。回路の上では、その面の節点 $J_{i}$ は電源につながらない「浮いた節点」で、空間抵抗だけが通り道になります。このため再放射面の放射率は答えに影響しません。2 つの面 1、2 と再放射面 3 の閉空間なら、空間抵抗 $\frac{1}{A _{1} F _{12}}$ と、直列の $\frac{1}{A _{1} F _{13}} + \frac{1}{A _{2} F _{23}}$ が並列につながり、その両側に表面抵抗が直列につながります。再放射面は受けた放射をすべて出し直すだけで熱をためも捨てもしないので（ $Q_{3} = 0$ ）、面 1 が正味に出した熱 $Q_{1}$ はすべて面 2 に届き、 $Q_{1} = - Q_{2}$ です。この量を「面 1 から面 2 への正味の伝熱量」 $Q$ と書くと、 $Q$ は直接の分 $Q_{12}$ と、面 3 を経由する分（ $Q_{13} = Q_{32}$ ）の和 $Q = Q_{12} + Q_{13}$ になります。

手順

面ごとに面積 $A_{i}$ ・放射率 $ε_{i}$ ・温度を整理し、黒体放射能 $E_{bi} = σ T_{i}^{4}$ を求める。再放射面（正味の伝熱量 $0$ ）がどれかを確認する
形態係数 $F_{ij}$ を（総和則・相反則・対称性などで）求め、表面抵抗 $\frac{1 - ε _{i}}{ε _{i} A _{i}}$ と空間抵抗 $\frac{1}{A _{i} F _{ij}}$ を計算する
回路を描く: 電源 $E_{bi}$ — 表面抵抗 — 節点 $J_{i}$ 、節点どうしを空間抵抗で結ぶ。再放射面は電源につながない浮いた節点にする
直列は足し算、並列は逆数の和の逆数で、温度が与えられた 2 面の電源の間の合成抵抗 $R_{合成}$ を求める
面 1 から面 2 への正味の放射伝熱量（再放射面を経由する分も含めた全体、 $Q = Q_{1} = - Q_{2}$ ）を求める: $Q = \frac{E _{b 1} - E _{b 2}}{R _{合成}}$ 。ラジオシティが必要なら $J_{1} = E_{b 1} - Q \cdot \frac{1 - ε _{1}}{ε _{1} A _{1}}$ のように各抵抗での電位降下から求める

例題

断面が 1 辺 $1 m$ の正三角形の、非常に長いダクトがある。3 つの面のうち面 1 は温度 $T_{1} = 1000 K$ ・放射率 $ε_{1} = 0.5$ 、面 2 は温度 $T_{2} = 500 K$ ・放射率 $ε_{2} = 0.5$ の灰色面で、面 3 は断熱された再放射面である。各面どうしの形態係数は $\frac{1}{2}$ とし、ステファン・ボルツマン定数を $σ = 5.67 \times 1 0^{- 8} W/ (m^{2} \cdot K^{4})$ 、ダクトの端の影響は無視する。ダクトの長さ $1 m$ あたりに面 1 から面 2 へ移る正味の放射伝熱量（面 3 を経由する分も含む）[W] を有効数字 3 桁で求めよ。

例題の解答

【手順 1】長さ $1 m$ あたりで考えると $A_{1} = A_{2} = A_{3} = 1 m^{2}$ 。
$E_{b 1} = 5.67 \times 1 0^{- 8} \times 100 0^{4} = 56700 W/ m^{2}, E_{b 2} = 5.67 \times 1 0^{- 8} \times 50 0^{4} = 3543.75 W/ m^{2}$
面 3 は再放射面。

【手順 2】表面抵抗: $\frac{1 - 0.5}{0.5 \times 1} = 1 m^{- 2}$ （面 1、面 2 とも）。空間抵抗: $\frac{1}{A _{i} F _{ij}} = \frac{1}{1 \times \frac{1}{2}} = 2 m^{- 2}$ （1–2、1–3、2–3 のどれも）。

【手順 3】回路は $E_{b 1}$ —（1）— $J_{1}$ —（直通の $2$ と、 $J_{3}$ を通る $2 + 2$ の並列）— $J_{2}$ —（1）— $E_{b 2}$ 。 $J_{3}$ は電源につながない浮いた節点。

【手順 4】 $J_{1}$ と $J_{2}$ の間: $J_{3}$ を通る道は直列で $2 + 2 = 4$ 、これと直通の $2$ が並列なので
$(\frac{1}{2} + \frac{1}{4})^{- 1} = \frac{4}{3}$
合成抵抗は $R_{合成} = 1 + \frac{4}{3} + 1 = \frac{10}{3} m^{- 2}$ 。

【手順 5】面 1 から面 2 への正味の伝熱量（面 3 経由の分も含む全体）は
$Q = \frac{E _{b 1} - E _{b 2}}{R _{合成}} = \frac{56700 - 3543.75}{10/3} = \frac{53156.25 \times 3}{10} \approx 15947 W$
よって約 $1.59 \times 1 0^{4} W$ 。

（確かめ: $J_{1} = 56700 - 15947 \times 1 \approx 40753 W/ m^{2}$ 、 $J_{2} = 3543.75 + 15947 \approx 19491 W/ m^{2}$ 。直接の分は $Q_{12} = \frac{J _{1} - J _{2}}{2} \approx 10631 W$ 、面 3 を経由する分は $\frac{J _{1} - J _{2}}{4} \approx 5316 W$ で、和は $15947 W$ と $Q$ に一致する。面 3 は $Q_{3} = 0$ なので、受け取った $5316 W$ をすべて面 2 へ出し直している。 $J_{3}$ は 2 つの等しい抵抗の中点なので $\frac{J _{1} + J _{2}}{2} \approx 30122 W/ m^{2}$ 。）

答え: $1.59 \times 1 0^{4}$

よくある誤り

表面抵抗を $\frac{ε _{i}}{( 1 - ε _{i} ) A _{i}}$ と逆にしてしまう誤り。黒体（ $ε_{i} = 1$ ）で抵抗が 0 になるのが正しいので、正しくは $\frac{1 - ε _{i}}{ε _{i} A _{i}}$
再放射面を無視して、空間抵抗を直通の $\frac{1}{A _{1} F _{12}}$ だけにしてしまう誤り。例題なら $R = 1 + 2 + 1 = 4$ となり伝熱量を小さく見積もる。正しくは再放射面を通る道 $\frac{1}{A _{1} F _{13}} + \frac{1}{A _{2} F _{23}}$ を並列に加え、 $R = 1 + \frac{4}{3} + 1 = \frac{10}{3}$
面 1 から面 2 への正味の伝熱量を、直通の空間抵抗を流れる分 $Q_{12} = A_{1} F_{12} (J_{1} - J_{2})$ だけで答えてしまう誤り（例題で約 $1.06 \times 1 0^{4} W$ ）。再放射面は熱を出し入れしないので、面 3 を経由する分も面 2 に届き、正しくは全体の $Q = \frac{E _{b 1} - E _{b 2}}{R _{合成}} \approx 1.59 \times 1 0^{4} W$
再放射面にも表面抵抗を付けて電源 $E_{b 3}$ につないだり、その放射率を計算に入れたりしてしまう誤り。正しくは $Q_{3} = 0$ なので表面抵抗に電流が流れず $J_{3} = E_{b 3}$ となり、節点 $J_{3}$ は浮いたままで再放射面の放射率は結果に影響しない

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
断面が 1 辺 $1.0 m$ の正三角形で、十分に長いダクト（炉）がある。3 つの側面を面 $1$ 、面 $2$ 、面 $3$ とする。面 $1$ は温度 $T_{1} = 1000 K$ 、放射率 $ε_{1} = 0.50$ 、面 $2$ は温度 $T_{2} = 500 K$ 、放射率 $ε_{2} = 0.50$ の灰色拡散面である。面 $3$ は外側が完全に断熱された再放射面（正味の放射伝熱量が $0$ の面）である。ダクト内は真空で、端の影響は無視し、各面の温度・放射の性質はそれぞれ一様とする。どの 2 面の間の形態係数も $\frac{1}{2}$ である。ステファン・ボルツマン定数を $σ = 5.67 \times 1 0^{- 8} W/(m^{2} \cdotK^{4})$ として、ダクトの長さ $1 m$ あたりに面 $1$ から面 $2$ へ移る正味の放射伝熱量 [W] を有効数字 $3$ 桁で求めよ。

灰色面の閉空間の放射回路網

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題