平板の熱伝導と熱抵抗

フーリエの法則 $q = - k \frac{d T}{d x}$ から、単層・多層の平板を通る定常熱流束を熱抵抗 $R = L / k$ の直列和（接触熱抵抗を含む）で求め、層の境界面の温度を求められる

前提

熱の伝わり方（伝導・対流・放射）（高校物理熱と気体（知識））
オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）

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オームの法則と合成抵抗（高校物理電流と回路）

説明

壁・断熱材・窓ガラスのような平らな板を通って、高温側から低温側へ熱が伝導で流れるとき、単位面積・単位時間あたりに流れる熱量（熱流束）を求められるようになります。板をいくつも重ねた壁でも、各層を「熱抵抗」に置きかえて電気回路の直列抵抗と同じように足し合わせれば、全体の熱流束と、層と層の境目の温度がわかります。炉壁や建物の断熱設計、機器の放熱の見積もりなどで使います。

なぜそうしてよいのか

熱伝導では、温度の高い所から低い所へ熱が流れ、温度の変わり方が急なほど多く流れます。厚さ方向に $x$ 軸をとり、単位面積を単位時間に $x$ の向きに流れる熱量を熱流束 $q [W/ m^{2}]$ とすると、 $q$ は $x$ 方向の温度の変化の割合 $\frac{d T}{d x}$ （ $x$ が少し増えたときの温度の増え方）に比例します。これがフーリエの法則 $q = - k \frac{d T}{d x}$ で、比例定数 $k [W/ (m \cdot K)]$ を熱伝導率といいます。負号は「温度が下がる向きに熱が流れる」ことを表します。

温度が時間とともに変わらない定常状態で、板の中で熱が生じたり蓄えられたりしなければ、どの断面を通る熱流束も同じ値 $q$ です（途中で熱がたまれば温度が上がってしまうから）。 $q$ と $k$ が一定なら $\frac{d T}{d x} = - \frac{q}{k}$ も一定なので、板の中の温度は厚さ方向に直線的に下がります。厚さ $L$ の板の両面の温度を $T_{1}, T_{2}$ とすると、傾きは $\frac{T _{2} - T _{1}}{L}$ なので
$q = k \frac{T _{1} - T _{2}}{L} = \frac{T _{1} - T _{2}}{L / k}$
となります。これはオームの法則 $I = \frac{V}{R}$ と同じ形で、温度差が電圧、熱流束が電流、 $R = \frac{L}{k} [m^{2} \cdot K/W]$ が抵抗にあたります。この $R$ を（単位面積あたりの）熱抵抗といいます。

何層も重ねた板では、どの層にも同じ $q$ が流れるので、直列につないだ抵抗に同じ電流が流れるのと同じです。各層の温度差は $Δ T_{i} = q R_{i}$ で、それらの和が全体の温度差になるので、高温側の表面温度を $T_{h}$ 、低温側の表面温度を $T_{c}$ とすると $T_{h} - T_{c} = q (R_{1} + R_{2} + \dots)$ です。層と層がぴったり密着していないと、境目で温度がとびます。この温度のとびも $Δ T = q R_{c}$ と書けるので、接触熱抵抗 $R_{c}$ として直列和に加えれば同じように扱えます。

手順

各層の熱抵抗 $R_{i} = \frac{L _{i}}{k _{i}}$ を、厚さ $L_{i}$ を m に直してから計算する。
接触熱抵抗 $R_{c}$ が与えられていればそれも加え、全熱抵抗 $R_{total} = \sum R_{i} + \sum R_{c}$ を求める。
高温側の表面温度 $T_{h}$ と低温側の表面温度 $T_{c}$ の差から、熱流束 $q = \frac{T _{h} - T _{c}}{R _{total}}$ を求める。
境界面の温度は、高温側の表面から順に、通った抵抗ぶんの温度降下 $q R_{i}$ を引いて求める（例: 第 1 層と第 2 層の境界面の温度 $T_{i} = T_{h} - q R_{1}$ ）。
必要なら面積 $A$ をかけて、壁全体を流れる熱流量 $Q = q A$ を求める。

例題

炉の壁が、内側の耐火れんが（厚さ $0.20 m$ 、熱伝導率 $0.80 W/ (m \cdot K)$ ）と外側の断熱材（厚さ $0.050 m$ 、熱伝導率 $0.050 W/ (m \cdot K)$ ）の 2 層でできており、2 層は密着していて接触熱抵抗は無視できる。定常状態で、内側の表面温度が $220^{\circ} C$ 、外側の表面温度が $20^{\circ} C$ であり、熱は厚さ方向にだけ流れるとする。れんがと断熱材の境界面の温度は何 $^{\circ} C$ か求めよ。

例題の解答

手順 1: れんがの熱抵抗は $R_{1} = \frac{0.20}{0.80} = 0.25 m^{2} \cdot K/W$ 、断熱材の熱抵抗は $R_{2} = \frac{0.050}{0.050} = 1.0 m^{2} \cdot K/W$ 。

手順 2: 接触熱抵抗は無視できるので、全熱抵抗は $R_{total} = 0.25 + 1.0 = 1.25 m^{2} \cdot K/W$ 。

手順 3: $T_{h} = 220^{\circ} C$ 、 $T_{c} = 20^{\circ} C$ なので、熱流束は $q = \frac{220 - 20}{1.25} = 160 W/ m^{2}$ 。

手順 4: れんがの中での温度降下は $q R_{1} = 160 \times 0.25 = 40 K$ なので、境界面の温度は $T_{i} = 220 - 40 = 180^{\circ} C$ 。

（確かめ: 断熱材での温度降下は $160 \times 1.0 = 160 K$ で、 $180 - 160 = 20^{\circ} C$ と外側の表面温度に一致する。手順 5 は熱流量を問われていないので使わない。）

答え: $180$

よくある誤り

熱抵抗を $R = \frac{k}{L}$ と逆にしてしまう誤り。厚いほど、また熱伝導率が小さいほど熱を通しにくいので、正しくは $R = \frac{L}{k}$ 。
多層の壁で熱伝導率を足して $q = \frac{( k _{1} + k _{2} ) ( T _{1} - T _{2} )}{L _{1} + L _{2}}$ のように計算してしまう誤り。直列に足せるのは熱抵抗なので、正しくは $q = \frac{T _{1} - T _{2}}{L _{1} / k _{1} + L _{2} / k _{2}}$ 。
境界面の温度を、厚さの比で温度差を分けて求めてしまう誤り（例題なら $220 - 200 \times \frac{0.20}{0.25} = 60^{\circ} C$ ）。温度差は厚さではなく熱抵抗の比で分かれるので、正しくは $T_{i} = T_{h} - q R_{1} = 220 - 200 \times \frac{0.25}{1.25} = 180^{\circ} C$ 。
厚さを cm や mm のまま $R = L / k$ に入れてしまう誤り。 $k$ の単位が $W/ (m \cdot K)$ なら、 $L$ は m に直す（例: $5 cm$ は $0.05 m$ ）。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
建物の壁が、厚さ $0.20 m$ 、熱伝導率 $0.80 W/ (m \cdot K)$ のコンクリート層と、厚さ $0.050 m$ 、熱伝導率 $0.040 W/ (m \cdot K)$ の断熱材層を密着させて重ねた 2 層の平板でできている。壁の室内側の表面温度は $25^{\circ} C$ 、屋外側の表面温度は $- 5^{\circ} C$ で一定に保たれている。定常状態で壁を通る熱流束（単位面積あたりの熱流量）は何 $W/ m^{2}$ か。整数で答えよ。ただし、熱は壁の厚さ方向にだけ 1 次元的に流れ、2 層の間の接触熱抵抗は無視でき、熱伝導率は温度によらず一定とする。

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

対流熱伝達と熱通過率（大学物理熱工学・伝熱）
灰色面の閉空間の放射回路網（大学物理熱工学・伝熱）