熱工学・伝熱の問題

難易度 2教科書の演習問題レベル大学物理熱工学・伝熱

ボイラーの伝熱面の一部を、十分に広い平らな鋼板とみなす。鋼板の厚さは $12 mm$ 、熱伝導率は $48 W/(m \cdot K)$ である。鋼板の一方の側には温度 $610^{\circ} C$ の燃焼ガスが流れ、もう一方の側には温度 $200^{\circ} C$ の水がある。ここで、燃焼ガスと水の温度は、壁から十分に離れた主流での温度である。

水と鋼板の間の熱伝達率は $4000 W/(m^{2} \cdot K)$ であることがわかっている。一方、燃焼ガスと鋼板の間の熱伝達率はわかっていない。そこで、定常状態で鋼板の水側の表面温度を測定したところ、 $205^{\circ} C$ であった。

熱は鋼板に垂直な方向にのみ 1 次元的に流れるものとし、鋼板の熱伝導率および両側の熱伝達率は一定とする。ガス側の放射による伝熱は、ガス側の熱伝達率に含まれているものとする。また、鋼板の表面の汚れによる熱抵抗は無視する。

このとき、燃焼ガスから水への熱通過率（総括熱伝達率）を $W/(m^{2} \cdot K)$ の単位で求め、既約分数で答えよ。

この問題で使うもの

対流熱伝達と熱通過率（説明と入口の問題）
平板の熱伝導と熱抵抗（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（16 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

定常状態では、ガス側の対流・鋼板内の熱伝導・水側の対流を通る熱流束はすべて等しいことを使い、まず未知のガス側熱伝達率を求めましょう。

ヒント 2

水側の温度差と熱伝達率から $q = h_{w} (T_{s, w} - T_{w})$ で熱流束が求まります。熱通過率は $\frac{1}{K} = \frac{1}{h _{g}} + \frac{L}{k} + \frac{1}{h _{w}}$ で計算します。

ヒント 3

$q = 2.0 \times 1 0^{4} W/m^{2}$ 、鋼板内の温度差は $q L / k = 5 K$ なのでガス側表面温度は $210^{\circ} C$ 、これよりガス側熱伝達率は $50 W/(m^{2} \cdot K)$ です。あとは 3 つの熱抵抗を足しましょう。

答えと解説

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\frac{2000}{41}

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解説を読む

定常状態では、燃焼ガス → 鋼板（対流）、鋼板内（熱伝導）、鋼板 → 水（対流）の各段階を通る単位面積あたりの熱流量 $q$ はすべて等しい。エネルギーが途中で蓄積されないからである。

1. 水側の対流から熱流束を求める

ニュートンの冷却則より、
$q = h_{w} (T_{s, w} - T_{w}) = 4000 \times (205 - 200) = 2.0 \times 1 0^{4} W/m^{2}$

2. 鋼板内の熱伝導からガス側表面温度を求める

フーリエの法則（1 次元・定常・熱伝導率一定なので温度分布は直線）より、
$T_{s, g} - T_{s, w} = \frac{q L}{k} = \frac{2.0 \times 1 0 ^{4} \times 0.012}{48} = 5 K$
よって $T_{s, g} = 205 + 5 = 210^{\circ} C$ 。

3. ガス側の熱伝達率を求める

$h_{g} = \frac{q}{T _{g} - T _{s, g}} = \frac{2.0 \times 1 0 ^{4}}{610 - 210} = 50 W/(m^{2} \cdot K)$

4. 熱通過率を求める

熱抵抗（単位面積あたり）は直列につながるので、
$\frac{1}{K} = \frac{1}{h _{g}} + \frac{L}{k} + \frac{1}{h _{w}} = \frac{1}{50} + \frac{0.012}{48} + \frac{1}{4000} = 0.02 + 0.00025 + 0.00025 = 0.0205 m^{2} \cdot K/W$
したがって
$K = \frac{1}{0.0205} = \frac{2000}{41} W/(m^{2} \cdot K) (\approx 48.8)$

（確認） $K (T_{g} - T_{w}) = \frac{2000}{41} \times 410 = 2.0 \times 1 0^{4} W/m^{2}$ となり、1. の $q$ と一致する。

別解

定常状態では、水側の熱伝達で運ばれる熱流束が、燃焼ガスから水への熱流束 $q$ に等しい。

$q = h_{w} (T_{w s} - T_{w}) = 4000 \times (205 - 200) = 20000 W/m^{2}$

全体の温度差は $610 - 200 = 410 K$ である。熱通過率 $U$ は $q = U Δ T$ で定義されるので、

$U = \frac{20000}{410} = \frac{2000}{41} W/(m^{2} \cdot K) \approx 48.8$

検算：鋼板内の温度差は $q L / k = 20000 \times 0.012/48 = 5 K$ なので、ガス側の鋼板表面温度は $210^{\circ} C$ である。ガス側の温度差は $610 - 210 = 400 K$ だから、ガス側の熱伝達率は $h_{g} = 20000/400 = 50 W/(m^{2} \cdot K)$ となる。

熱抵抗の和は $1/50 + 0.012/48 + 1/4000 = 0.02 + 0.00025 + 0.00025 = 0.0205$ である。これの逆数は $1/0.0205 = 2000/41$ となり、上の結果と一致する。

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