熱工学・伝熱の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学物理熱工学・伝熱

建物の壁が、厚さ $0.20 m$ 、熱伝導率 $0.80 W/ (m \cdot K)$ のコンクリート層と、厚さ $0.050 m$ 、熱伝導率 $0.040 W/ (m \cdot K)$ の断熱材層を密着させて重ねた 2 層の平板でできている。壁の室内側の表面温度は $25^{\circ} C$ 、屋外側の表面温度は $- 5^{\circ} C$ で一定に保たれている。定常状態で壁を通る熱流束（単位面積あたりの熱流量）は何 $W/ m^{2}$ か。整数で答えよ。ただし、熱は壁の厚さ方向にだけ 1 次元的に流れ、2 層の間の接触熱抵抗は無視でき、熱伝導率は温度によらず一定とする。

この問題で使うもの

平板の熱伝導と熱抵抗（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（15 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

各層を熱抵抗とみなし、直列につないだ抵抗として扱います。

ヒント 2

各層の熱抵抗は $R = \frac{L}{k}$ 、全体の熱抵抗は $R_{1} + R_{2}$ で、熱流束は $q = \frac{Δ T}{R _{1} + R _{2}}$ です（オームの法則 $I = \frac{V}{R}$ と同じ形）。

ヒント 3

コンクリート層の熱抵抗は $0.25 m^{2} \cdot K/W$ 、断熱材層は $1.25 m^{2} \cdot K/W$ です。

答えと解説

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解説を読む

手順 1: 各層の熱抵抗（単位面積あたり）を求める。

フーリエの法則 $q = - k \frac{d T}{d x}$ より、厚さ $L$ 、熱伝導率 $k$ の平板を定常状態で通る熱流束は $q = \frac{Δ T}{L / k}$ と書ける。 $R = \frac{L}{k}$ を熱抵抗とよぶ。
$R_{1} = \frac{0.20}{0.80} = 0.25 m^{2} \cdot K/W$
$R_{2} = \frac{0.050}{0.040} = 1.25 m^{2} \cdot K/W$

手順 2: 全体の熱抵抗を求める。

定常状態では、どの層にも同じ熱流束 $q$ が流れる（途中で熱がたまったり、生じたりしない）。これは直列につないだ抵抗に同じ電流が流れるのと同じなので、熱抵抗は足し合わせればよい。
$R = R_{1} + R_{2} = 0.25 + 1.25 = 1.50 m^{2} \cdot K/W$

手順 3: 熱流束を求める。

両表面の温度差は $Δ T = 25 - (- 5) = 30 K$ なので
$q = \frac{Δ T}{R} = \frac{30}{1.50} = 20 W/ m^{2}$

よって熱流束は $20 W/ m^{2}$ である。

別解

単位面積あたりの熱抵抗は $R = \sum L_{i} / k_{i}$ 。コンクリート: $0.20/0.80 = 0.25 m^{2} K/W$ 、断熱材: $0.050/0.040 = 1.25 m^{2} K/W$ 。合計 $R = 1.50 m^{2} K/W$ 。温度差 $Δ T = 25 - (- 5) = 30 K$ 。熱流束 $q = Δ T / R = 30/1.5 = 20 W/ m^{2}$ 。検算: コンクリート層の温度降下 $20 \times 0.25 = 5 K$ 、断熱材層 $20 \times 1.25 = 25 K$ 、合計 $30 K$ で一致する。

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