熱工学・伝熱の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理熱工学・伝熱

木造住宅の外壁の一部を考える。壁は十分に広く、壁に平行な方向には同じ構造が幅 $0.50 m$ ごとにくり返している。そこで、幅 $0.50 m$ 、高さ $1.0 m$ の部分（以下「単位区画」とよぶ）だけを考える。壁は室内側から順に次の 3 層でできている。

層 1（石こうボード）: 厚さ $0.010 m$ 、熱伝導率 $0.20 W/(m \cdot K)$
層 2（間柱と断熱材）: 厚さ $0.12 m$ 。単位区画のうち幅 $0.050 m$ の部分は木材の間柱（熱伝導率 $0.12 W/(m \cdot K)$ ）で、残りの幅 $0.45 m$ の部分には断熱材（熱伝導率 $0.040 W/(m \cdot K)$ ）がすき間なく詰められている。間柱も断熱材も高さ方向には単位区画の全体にわたっている。
層 3（合板）: 厚さ $0.009 m$ 、熱伝導率 $0.12 W/(m \cdot K)$

室内の空気の温度は $20^{\circ} C$ 、屋外の空気の温度は $- 8^{\circ} C$ で、室内側の壁面の熱伝達率は $8.0 W/(m^{2} \cdot K)$ 、屋外側の壁面の熱伝達率は $20 W/(m^{2} \cdot K)$ である。

定常状態で、熱は壁に垂直な方向にだけ流れるものとし、層と層の境界面（層 1 と層 2 の境界、層 2 と層 3 の境界）はそれぞれ一様な温度の等温面とみなす。層間の接触熱抵抗と放射の影響は無視する。このとき、単位区画を室内から屋外へ通過する熱流量は何 W か。有効数字 2 桁で求めよ。

この問題で使うもの

平板の熱伝導と熱抵抗（説明と入口の問題）
対流熱伝達と熱通過率（説明と入口の問題）

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算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

単位区画の各部分を熱抵抗に置き換え、直列と並列の組み合わせ（熱抵抗の回路）として考えよう。

ヒント 2

平板の伝導の熱抵抗は $R = L / (k A)$ 、表面の熱伝達の熱抵抗は $R = 1/ (h A)$ である。層 2 は境界面が等温面なので、間柱部分と断熱材部分が同じ温度差を受ける並列の熱抵抗になる。

ヒント 3

層 2 の合成熱抵抗は $1/ R_{2} = 1/20 + 3/20$ より $R_{2} = 5.0 K/W$ である。残りの熱抵抗 $0.25, 0.10, 0.15, 0.10 K/W$ と直列に足して全熱抵抗を求め、温度差 $28 K$ を割ればよい。

答えと解説

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5.0

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解説を読む

単位区画の面積は $A = 0.50 \times 1.0 = 0.50 m^{2}$ である。定常状態で熱は壁に垂直な方向にだけ流れるので、各部分の熱抵抗は、平板の伝導については $R = \frac{L}{k A}$ 、表面の熱伝達については $R = \frac{1}{h A}$ で表される。

室内側の熱伝達
$R_{i} = \frac{1}{8.0 \times 0.50} = 0.25 K/W$

層 1（石こうボード）
$R_{1} = \frac{0.010}{0.20 \times 0.50} = 0.10 K/W$

層 2（間柱と断熱材）
層 2 の両側の境界面を等温面とみなすので、間柱部分と断熱材部分には同じ温度差がかかる。したがって、この 2 つは並列の熱抵抗になる。間柱部分の断面積は $0.050 \times 1.0 = 0.050 m^{2}$ 、断熱材部分の断面積は $0.45 \times 1.0 = 0.45 m^{2}$ だから、
$R_{stud} = \frac{0.12}{0.12 \times 0.050} = 20 K/W, R_{ins} = \frac{0.12}{0.040 \times 0.45} = \frac{20}{3} K/W$
並列合成すると
$\frac{1}{R _{2}} = \frac{1}{20} + \frac{3}{20} = 0.050 + 0.15 = 0.20 W/K, R_{2} = 5.0 K/W$

層 3（合板）
$R_{3} = \frac{0.009}{0.12 \times 0.50} = 0.15 K/W$

屋外側の熱伝達
$R_{o} = \frac{1}{20 \times 0.50} = 0.10 K/W$

熱は室内空気 → 層 1 → 層 2 → 層 3 → 屋外空気の順に同じ熱流量で流れるので、これらは直列につながっている。全熱抵抗は
$R_{tot} = R_{i} + R_{1} + R_{2} + R_{3} + R_{o} = 0.25 + 0.10 + 5.0 + 0.15 + 0.10 = 5.60 K/W$

温度差は $Δ T = 20 - (- 8) = 28 K$ なので、熱流量は
$Q = \frac{Δ T}{R _{tot}} = \frac{28}{5.60} = 5.0 W$

よって答えは $5.0 W$ である。

別解

単位区画の面積は $A = 0.50 \times 1.0 = 0.50 m^{2}$ 。層と層の境界は等温面とみなすので、層 2 では間柱部分と断熱材部分が並列、そのほかの層は直列につながる。単位面積あたり（ $m^{2} \cdot K/W$ ）の熱抵抗を求める。

室内側の熱伝達: $1/8.0 = 0.125$
層 1: $0.010/0.20 = 0.050$
層 2: 並列の等価熱伝導率は、面積比（間柱 $0.050/0.50 = 0.10$ 、断熱材 $0.90$ ）で重みづけして $k_{e q} = 0.10 \times 0.12 + 0.90 \times 0.040 = 0.012 + 0.036 = 0.048 W/(m \cdot K)$ 。よって $R = 0.12/0.048 = 2.5$
層 3: $0.009/0.12 = 0.075$
屋外側の熱伝達: $1/20 = 0.050$

合計は $R_{t o t} = 0.125 + 0.050 + 2.5 + 0.075 + 0.050 = 2.8 m^{2} \cdot K/W$ 。

熱流束は $q = Δ T / R_{t o t} = 28/2.8 = 10 W/m^{2}$ 。

単位区画を通る熱流量は $Q = q A = 10 \times 0.50 = 5.0 W$ 。

検算: 絶対値で求めた並列部分の熱コンダクタンスは $0.05 \cdot 0.12/0.12 + 0.45 \cdot 0.04/0.12 = 0.05 + 0.15 = 0.20 W/K$ で、 $R = 5 K/W$ 。他の層の抵抗を単位区画あたりに直すと $(0.125 + 0.05 + 0.075 + 0.05) /0.5 = 0.6 K/W$ 。合計 $5.6 K/W$ より $Q = 28/5.6 = 5.0 W$ となり一致する。

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