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熱工学・伝熱の問題

難易度 3期末試験の応用レベル大学物理熱工学・伝熱

十分に長い円管（外半径 $2.0 cm$ ）の外側を、2 種類の保温材 P, Q でそれぞれ厚さ $2.0 cm$ ずつ、2 層に重ねて覆う。保温材 P の熱伝導率は $k$ 、保温材 Q の熱伝導率は $2 k$ であり、どちらも温度によらず一定とする。重ね方として次の 2 通りを考える。

配置 X: 内側の層（半径 $2.0 cm$ から $4.0 cm$ ）が P、外側の層（半径 $4.0 cm$ から $6.0 cm$ ）が Q
配置 Y: 内側の層が Q、外側の層が P（層の半径は配置 X と同じ）

どちらの配置でも、保温材の内面（円管の外面）の温度は $T_{1}$ 、保温材の最も外側の面の温度は $T_{2}$ （ $T_{1} > T_{2}$ ）に一定に保たれている。熱は定常状態で半径方向にだけ伝導し、2 つの層の間の接触熱抵抗は無視できるものとする。

管の単位長さあたりに保温材を通って流れる熱流量を、配置 X のとき $q_{X}$ 、配置 Y のとき $q_{Y}$ とする。比 $\frac{q _{X}}{q _{Y}}$ を、自然対数 $lo g$ を用いた正確な値で求めよ。

この問題で使うもの

円筒の熱伝導と保温（説明と入口の問題）
対数の定義と性質（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（56 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

円筒層を半径方向に流れる熱は、各層の熱抵抗を直列につないだ回路で考えられる。両方の配置で温度差が同じなので、熱流量の比は熱抵抗の逆比になる。

ヒント 2

内半径 $r_{i}$ 、外半径 $r_{o}$ 、熱伝導率 $κ$ の円筒層の、単位長さあたりの熱抵抗は $\frac{1}{2 π κ} lo g \frac{r _{o}}{r _{i}}$ である。内側の層の半径比は $2$ 、外側の層の半径比は $\frac{3}{2}$ 。

ヒント 3

配置 X の熱抵抗は $\frac{1}{2 π k} lo g 2 + \frac{1}{4 π k} lo g \frac{3}{2} = \frac{1}{4 π k} lo g 6$ とまとめられる。配置 Y も同様にまとめ、比をとる。

答えと解説

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\frac{lo g \frac{9}{2}}{lo g 6}

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解説を読む

円筒層の熱抵抗

内半径 $r_{i}$ 、外半径 $r_{o}$ 、熱伝導率 $κ$ の円筒層を考える。定常状態で半径方向にだけ熱が流れるとき、管の長さ $L$ あたりの熱流量 $Q$ は半径 $r$ によらず一定である（途中で熱が生じたり消えたりしないため）。フーリエの法則より
$Q = - κ (2 π r L) \frac{d T}{d r}$
であり、これを $r_{i}$ から $r_{o}$ まで積分すると
$T (r_{i}) - T (r_{o}) = \frac{Q}{2 π κ L} lo g \frac{r _{o}}{r _{i}}$
となる。よって単位長さあたりの熱抵抗は
$R^{'} = \frac{1}{2 π κ} lo g \frac{r _{o}}{r _{i}}$
である。

各層の熱抵抗

内側の層は $r_{o} / r_{i} = 4.0/2.0 = 2$ 、外側の層は $r_{o} / r_{i} = 6.0/4.0 = \frac{3}{2}$ である。

層の間の接触熱抵抗は無視でき、2 つの層を同じ熱流量が順に通るので、全体の熱抵抗は 2 つの熱抵抗の和（直列）になる。

配置 X（内側 P: $k$ 、外側 Q: $2 k$ ）:
$R_{X}^{'} = \frac{1}{2 π k} lo g 2 + \frac{1}{2 π \cdot 2 k} lo g \frac{3}{2} = \frac{1}{4 π k} (2 lo g 2 + lo g \frac{3}{2}) = \frac{1}{4 π k} lo g 6$

配置 Y（内側 Q: $2 k$ 、外側 P: $k$ ）:
$R_{Y}^{'} = \frac{1}{2 π \cdot 2 k} lo g 2 + \frac{1}{2 π k} lo g \frac{3}{2} = \frac{1}{4 π k} (lo g 2 + 2 lo g \frac{3}{2}) = \frac{1}{4 π k} lo g \frac{9}{2}$

熱流量の比

両方の配置で温度差 $T_{1} - T_{2}$ は同じなので、 $q = \frac{T _{1} - T _{2}}{R ^{'}}$ より
$\frac{q _{X}}{q _{Y}} = \frac{R _{Y}^{'}}{R _{X}^{'}} = \frac{lo g \frac{9}{2}}{lo g 6}$

数値では $lo g \frac{9}{2} \approx 1.504$ 、 $lo g 6 \approx 1.792$ なので比は約 $0.839$ であり、熱伝導率の小さい保温材 P を内側に巻く配置 X のほうが熱損失が小さい。

別解

単位長さあたりの円筒殻（内半径 $r_{i}$ 、外半径 $r_{o}$ 、熱伝導率 $k_{i}$ ）の熱抵抗は $R = \frac{l o g ( r _{o} / r _{i} )}{2 π k _{i}}$ 。2 層は直列なので熱流量は $q = \frac{T _{1} - T _{2}}{R _{1} + R _{2}}$ 。

配置 X（内側 P、外側 Q）: $R_{X} = \frac{1}{2 π} [\frac{l o g 2}{k} + \frac{l o g ( 3/2 )}{2 k}] = \frac{1}{4 π k} [2 lo g 2 + lo g 3 - lo g 2] = \frac{l o g 2 + l o g 3}{4 π k} = \frac{l o g 6}{4 π k}$ 。

配置 Y（内側 Q、外側 P）: $R_{Y} = \frac{1}{2 π} [\frac{l o g 2}{2 k} + \frac{l o g ( 3/2 )}{k}] = \frac{1}{4 π k} [lo g 2 + 2 lo g 3 - 2 lo g 2] = \frac{2 l o g 3 - l o g 2}{4 π k} = \frac{l o g ( 9/2 )}{4 π k}$ 。

$T_{1} - T_{2}$ は共通なので $\frac{q _{X}}{q _{Y}} = \frac{R _{Y}}{R _{X}} = \frac{2 l o g 3 - l o g 2}{l o g 2 + l o g 3} = \frac{l o g ( 9/2 )}{l o g 6}$ 。

検算: 数値で $lo g 4.5 \approx 1.5041$ 、 $lo g 6 \approx 1.7918$ より比は約 $0.839$ 。熱伝導率の大きい Q を内側（面積の小さい側）に置く Y のほうが熱抵抗が大きく、 $q_{X} < q_{Y}$ となる。これは $q_{X} / q_{Y} < 1$ と矛盾しない向きか確認する: 内側は同じ厚さでも $lo g$ 比が大きく熱抵抗への寄与が大きいため、そこに低伝導率の P を置く X のほうが $R$ が大きいはず。実際 $R_{X} \propto 1.7918$ 、 $R_{Y} \propto 1.5041$ で $R_{X} > R_{Y}$ なので $q_{X} < q_{Y}$ 、比 $= R_{Y} / R_{X} \approx 0.839$ で整合する。

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