熱工学・伝熱の問題

難易度 4大学院入試の標準レベル大学物理熱工学・伝熱

十分に長い薄肉の円管（外半径 $r_{1} = 5.0 mm$ ）の内部を温水が流れ、管の外は空気である。管壁は十分に薄く、その熱抵抗は無視でき、管の内面と外面の半径はともに $r_{1}$ とみなす。

管内の温水と管壁の間の熱伝達率: $h_{i} = 1000 W/(m^{2} \cdot K)$
外表面と外気の間の熱伝達率（放射の効果も含めたもの）: $h_{o} = 10 W/(m^{2} \cdot K)$

この管の外側に、熱伝導率 $k = 0.10 W/(m \cdot K)$ の保温材を、外半径が $r_{2} = 10 mm$ になるように同心円筒状に巻いた。保温材を巻いた後も、温水の温度、外気の温度、熱伝達率 $h_{i}, h_{o}$ の値は変わらないものとする。また、熱の流れは定常で、半径方向だけに起こるものとし、管と保温材の接触熱抵抗は無視する。

保温材を巻いた後の管の単位長さあたりの放熱量を $Q_{2}^{'}$ 、巻く前の単位長さあたりの放熱量を $Q_{1}^{'}$ とするとき、比 $\frac{Q _{2}^{'}}{Q _{1}^{'}}$ を求めよ。答えは自然対数 $lo g$ を含む正確な値で答えよ。

この問題で使うもの

円筒の熱伝導と保温（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（56 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

温水から外気までの熱の通り道を、内側の対流・保温材の伝導・外側の対流の熱抵抗の直列として考え、巻く前と巻いた後で全熱抵抗を比べましょう。

ヒント 2

単位長さあたりの熱抵抗は、半径 $r$ の面の対流で $\frac{1}{2 π r h}$ 、円筒層の伝導で $\frac{lo g ( r _{2} / r _{1} )}{2 π k}$ です。外側の対流が起こる面の半径が巻く前と後で違うことに注意しましょう。

ヒント 3

$2 π$ をかけた熱抵抗は、巻く前が $\frac{1}{h _{i} r _{1}} + \frac{1}{h _{o} r _{1}} = 20.2$ 、巻いた後が $\frac{1}{h _{i} r _{1}} + \frac{lo g 2}{k} + \frac{1}{h _{o} r _{2}}$ です。温度差が同じなので、放熱量の比は熱抵抗の逆比になります。

答えと解説

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\frac{101}{51 + 50 lo g 2}

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解説を読む

温水の温度を $T_{i}$ 、外気の温度を $T_{o}$ とする。定常状態では、半径方向に流れる単位長さあたりの熱流量 $Q^{'}$ はどの半径でも等しいので、各部分の熱抵抗（単位長さあたり）を直列に足し合わせて
$Q^{'} = \frac{T _{i} - T _{o}}{R ^{'}}$
と書ける。ここで、単位長さあたりの熱抵抗は

半径 $r$ の面での対流熱伝達（熱伝達率 $h$ ）: 面積が $2 π r$ （単位長さあたり）なので $\frac{1}{2 π r h}$
内半径 $a$ 、外半径 $b$ 、熱伝導率 $k$ の円筒層の熱伝導: フーリエの法則 $Q^{'} = - 2 π r k \frac{d T}{d r}$ を $r = a$ から $b$ まで積分して $\frac{lo g ( b / a )}{2 π k}$

である。

保温材を巻く前
$2 π R_{1}^{'} = \frac{1}{h _{i} r _{1}} + \frac{1}{h _{o} r _{1}} = \frac{1}{1000 \times 0.0050} + \frac{1}{10 \times 0.0050} = 0.20 + 20 = 20.2 (m \cdot K/W)$

保温材を巻いた後
外側の対流熱伝達は半径 $r_{2}$ の面で起こり、その間に保温材の伝導抵抗が加わる。
$2 π R_{2}^{'} = \frac{1}{h _{i} r _{1}} + \frac{lo g ( r _{2} / r _{1} )}{k} + \frac{1}{h _{o} r _{2}} = 0.20 + \frac{lo g 2}{0.10} + \frac{1}{10 \times 0.010} = 10.2 + 10 lo g 2$

比
温度差 $T_{i} - T_{o}$ は変わらないので
$\frac{Q _{2}^{'}}{Q _{1}^{'}} = \frac{R _{1}^{'}}{R _{2}^{'}} = \frac{20.2}{10.2 + 10 lo g 2} = \frac{101}{51 + 50 lo g 2}$
数値では $lo g 2 \approx 0.6931$ より $\frac{101}{85.66} \approx 1.18$ となり、保温材を巻いたのに放熱量はかえって約 $18%$ 増える。

これは、管の外半径 $r_{1} = 5.0 mm$ が臨界半径 $r_{c} = \frac{k}{h _{o}} = \frac{0.10}{10} = 0.010 m$ より小さいためである。外表面積の増加による外側の対流抵抗の減少（ $20 \to 10$ ）が、保温材の伝導抵抗の増加（ $10 lo g 2 \approx 6.9$ ）を上回る。なお、本問の $r_{2}$ はちょうど臨界半径に等しく、この $k, h_{o}$ の保温材では放熱量が最大になる巻き方になっている。

（参考）外表面積基準の熱通過率 $K$ で書けば $Q^{'} = 2 π r_{外} K (T_{i} - T_{o})$ であり、巻く前は $K_{1} = \frac{1}{r _{1} \cdot 2 π R _{1}^{'}}$ 、巻いた後は $K_{2} = \frac{1}{r _{2} \cdot 2 π R _{2}^{'}}$ となる。比 $\frac{r _{2} K _{2}}{r _{1} K _{1}}$ は上の結果と一致する。

よって $\frac{Q _{2}^{'}}{Q _{1}^{'}} = \frac{101}{51 + 50 lo g 2}$ である。

別解

温水温度と外気温度の差を $Δ T$ とすると、単位長さあたりの放熱量は $Q^{'} = Δ T / R^{'}$ （ $R^{'}$ は単位長さあたりの全熱抵抗）。

巻く前: 内側の対流抵抗と外側の対流抵抗の直列（管壁の抵抗は無視）。
$R_{1}^{'} = \frac{1}{2 π r _{1} h _{i}} + \frac{1}{2 π r _{1} h _{o}} = \frac{1}{2 π} (\frac{1}{0.005 \times 1000} + \frac{1}{0.005 \times 10}) = \frac{1}{2 π} (0.2 + 20) = \frac{20.2}{2 π}$ 。

巻いた後: 内側対流抵抗、保温材の円筒伝導抵抗、外側対流抵抗（外半径 $r_{2}$ の面）の直列。
$R_{2}^{'} = \frac{1}{2 π r _{1} h _{i}} + \frac{ln ( r _{2} / r _{1} )}{2 π k} + \frac{1}{2 π r _{2} h _{o}} = \frac{1}{2 π} (0.2 + \frac{ln 2}{0.10} + \frac{1}{0.010 \times 10}) = \frac{1}{2 π} (0.2 + 10 ln 2 + 10) = \frac{10.2 + 10 ln 2}{2 π}$ 。

比: $\frac{Q _{2}^{'}}{Q _{1}^{'}} = \frac{R _{1}^{'}}{R _{2}^{'}} = \frac{20.2}{10.2 + 10 ln 2} = \frac{101}{51 + 50 ln 2}$ 。

数値: $ln 2 = 0.6931$ より分母 $= 51 + 34.657 = 85.657$ 、比 $\approx 1.179$ （放熱量は増える。臨界半径 $k / h_{o} = 10 mm$ に対し $r_{1} < k / h_{o}$ のため）。

検算: $r_{2} = r_{1}$ とおくと $ln$ 項が 0 になり $R_{2}^{'} = R_{1}^{'}$ で比 1 となる。よって式は整合している。

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