自然対数の底 $e$

次の極限値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底である。$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+3x{)}^{\frac{1}{x}}$$

次の極限値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底である。$$\underset{x\to 0}{\lim }(1+3x{)}^{\frac{1}{2x}}$$

次の極限値を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底である。$$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+3x\right)}^{\frac{1}{x}}$$

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^1{x}^2{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{n}dx$$
とおく（積分は区間 $[0,1]$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

正の整数 $n$ に対し
$$I_n={\int }_0^{\infty }{\left(1+\frac{x}{n}\right)}^{n}x{e}^{-3x}dx$$
とおく（積分は $[0,\infty )$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n$ を求めよ。

確率空間 $(\Omega ,\mathcal{F},P)$ 上の確率変数 $X$ が区間 $[0,1]$ 上の一様分布に従うとする。正の整数 $n$ に対して
$$a_n=E\left[{\left(1+\frac{X}{n}\right)}^n\right]$$
とおく。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n$ を求めよ。

確率変数 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立で同じ分布に従い、
$$P(X_k=1)=\frac{1}{4},P(X_k=-1)=\frac{1}{4},P(X_k=0)=\frac{1}{2}$$
を満たすとする。正の整数 $n$ に対して $S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ の特性関数を
$${\phi }_n(t)=E\left(e^{it{S}_n/\sqrt{n}}\right)(t\text{ は実数})$$
とする。実数 $t$ を固定したときの極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(t)$ を $t$ の式で求めよ。ただし $i$ は虚数単位である。

確率変数 $X_1,X_2,X_3,\dots$ は独立同分布で、各 $X_k$ は
$$P(X_k=-1)=P(X_k=0)=P(X_k=1)=\frac{1}{3}$$
を満たすとする。$S_n=X_1+X_2+\cdots +X_n$ とおき、$\frac{S_n}{\sqrt{n}}$ の特性関数を
$${\phi }_n(t)=E\left[\exp \left(it\frac{S_n}{\sqrt{n}}\right)\right](t\text{ は実数})$$
とする。$t$ を固定した実数とするとき、極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{\phi }_n(t)$ を $t$ の式で求めよ。

次の極限値を求めよ。
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(e^{2x}-1\right)\tan x}{1-\cos 3x}$$

次の極限値を求めよ。
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(e^{3x}-e^x\right)\tan 2x}{1-\cos 2x}$$

正の整数 $n$ に対し
$$L_n={\int }_0^{\infty }n\log \left(1+\frac{x}{n}\right)e^{-2x}dx$$
とおく（積分はルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{L}_n$ の値を求めよ。

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{1+x\sin 2x}-\cos x}{x\left(e^{3x}-1\right)}$$

次の極限値を求めよ。
$$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(\frac{e^{x^2}+\cos 2x}{2\cos 3x}\right)}^{\frac{1}{x\sin x}}$$
ただし、$e$ は自然対数の底である。

$a$ を正の定数とする。極限
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sqrt{a+x\sin 2x}-2}{e^{x^2}-\cos x}$$
が有限の値に収束するとき、その極限値を求めよ。

$a,b$ は実数の定数とする。
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{a{x}^2}-b\cos 3x}{x\sin 2x}=4$$
が成り立つとき、$a+b$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対し $$A_n={\int }_0^{1}n\left(1-x^{1/n}\right)\frac{1+x}{1-x}dx$$ とおく（積分は区間 $(0,1)$ 上のルベーグ測度に関するもの）。極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }{A}_n$ の値を求めよ。