極限の問題

分母を変形する

半角の公式 $1-\cos \theta =2{\sin }^2\frac{\theta }{2}$ より
$$1-\cos 3x=2{\sin }^2\frac{3x}{2}$$

基本の極限の形をつくる

$x\ne 0$ で $x$ が $0$ に十分近いとき、
$$\frac{\left(e^{2x}-1\right)\tan x}{1-\cos 3x}=\frac{\left(e^{2x}-1\right)\tan x}{2{\sin }^2\frac{3x}{2}}=\frac{\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot 2x\cdot \frac{\tan x}{x}\cdot x}{2{\left(\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\right)}^2\cdot \frac{9x^2}{4}}=\frac{2\cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot \frac{\tan x}{x}}{\frac{9}{2}{\left(\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\right)}^2}$$

極限をとる

$x\to 0$ のとき
$$\frac{e^{2x}-1}{2x}\to 1,\frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos x}\to 1,\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}}\to 1$$
なので
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\left(e^{2x}-1\right)\tan x}{1-\cos 3x}=\frac{2\cdot 1\cdot 1}{\frac{9}{2}\cdot 1^2}=\frac{4}{9}$$

$$\frac{(e^{2x}-1)\tan x}{1-\cos 3x}=\frac{e^{2x}-1}{2x}\cdot \frac{\tan x}{x}\cdot \frac{(3x{)}^2}{1-\cos 3x}\cdot \frac{2x\cdot x}{9x^2}.$$
$x\to 0$ で $\frac{e^{2x}-1}{2x}\to 1$、$\frac{\tan x}{x}\to 1$、$\frac{1-\cos 3x}{(3x{)}^2}\to \frac{1}{2}$ なので $\frac{(3x{)}^2}{1-\cos 3x}\to 2$。残りの因子は $\frac{2x^2}{9x^2}=\frac{2}{9}$。

よって極限値は $1\cdot 1\cdot 2\cdot \frac{2}{9}=\frac{4}{9}$。

検算: $x=0.01$ で分子 $\approx 0.0202013\times 0.0100003\approx 2.02019\times 10^{-4}$、分母 $1-\cos 0.03\approx 4.49993\times 10^{-4}$、比 $\approx 0.4489$。$\frac{4}{9}\approx 0.4444$ に近い。