極限の問題

$x\to 0$ のとき、分子も分母も $0$ に近づくので、このままでは極限値がわかりません。そこで、分子を $e^{x^2}-1$ と $1-\cos x$ の和に分けます。

$$\frac{e^{x^2}-\cos x}{x\sin x}=\frac{e^{x^2}-1}{x\sin x}+\frac{1-\cos x}{x\sin x}$$

ここで、次の 2 つの基本的な極限を使います。

$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{e^t-1}{t}=1,\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$$

第 1 項について

$$\frac{e^{x^2}-1}{x\sin x}=\frac{e^{x^2}-1}{x^2}\cdot \frac{x}{\sin x}$$

と変形します。$x\to 0$ のとき $t=x^2\to 0$ なので $\frac{e^{x^2}-1}{x^2}\to 1$ です。また $\frac{x}{\sin x}\to 1$ です。よって第 1 項は $1\cdot 1=1$ に収束します。

第 2 項について

分子と分母に $1+\cos x$ を掛けると、$1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$ より

$$\frac{1-\cos x}{x\sin x}=\frac{{\sin }^{2}x}{x\sin x(1+\cos x)}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{1+\cos x}$$

となります。$x\to 0$ のとき $\frac{\sin x}{x}\to 1$、$\cos x\to 1$ なので、第 2 項は $1\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ に収束します。

まとめ

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{x^2}-\cos x}{x\sin x}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

$x\to 0$ のとき、$e^{x^2}=1+x^2+o(x^2)$、$\cos x=1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)$ なので、分子は $e^{x^2}-\cos x=\frac{3}{2}{x}^2+o(x^2)$ となる。分母は $x\sin x=x^2+o(x^2)$。よって極限は $\frac{3/2}{1}=\frac{3}{2}$。

別の方法で確認する。式を $\frac{e^{x^2}-1}{x^2}\cdot \frac{x}{\sin x}+\frac{1-\cos x}{x^2}\cdot \frac{x}{\sin x}$ と分解する。各項の極限は $1\cdot 1+\frac{1}{2}\cdot 1=\frac{3}{2}$。

数値でも確かめる。$x=0.1$ のとき、$e^{0.01}=1.010050$、$\cos 0.1=0.995004$ なので分子は $0.015046$。分母は $0.1\times 0.099833=0.0099833$。比は約 $1.507$ で、$\frac{3}{2}$ に近い。