極限の問題

$x\to 0$ のとき分子 $\sin 4x\to 0$、分母 $3x\to 0$ となるので、このままでは値が決まらない（$\frac{0}{0}$ の不定形）。そこで公式 $$\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=1$$ が使える形に変形する。

手順1：分母を $\sin$ の中身と同じ $4x$ にそろえる。
$\sin$ の中身は $4x$ なので、分母に $4x$ を作る。$$\frac{\sin 4x}{3x}=\frac{\sin 4x}{4x}\cdot \frac{4x}{3x}=\frac{\sin 4x}{4x}\cdot \frac{4}{3}$$

手順2：置き換えて公式を使う。
$\theta =4x$ とおくと、$x\to 0$ のとき $\theta \to 0$ である。よって $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 4x}{4x}=\underset{\theta \to 0}{\lim }\frac{\sin \theta }{\theta }=1$$

手順3：極限を計算する。
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 4x}{3x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{\sin 4x}{4x}\cdot \frac{4}{3}\right)=1\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{3}$$

したがって、求める極限値は $\frac{4}{3}$ である。

${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin 4x}{3x}={\lim }_{x\to 0}\frac{4}{3}\cdot \frac{\sin 4x}{4x}$ と変形する。$t=4x$ とおくと $x\to 0$ のとき $t\to 0$ で、${\lim }_{t\to 0}\frac{\sin t}{t}=1$ であるから、極限値は $\frac{4}{3}\cdot 1=\frac{4}{3}$。検算として、$x=0.01$ のとき $\sin 0.04\approx 0.039989$ なので、$0.039989/0.03\approx 1.3330$ となり、$\frac{4}{3}$ に近い。