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極限の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 極限

次の極限値を求めよ。 $x \to 3 lim \frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 9}$

この問題で使うもの

関数の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（12 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

「関数の極限」の技能のうち、不定形の変形を使います。まず $x = 3$ を代入すると分子・分母がどうなるかを確かめましょう。

ヒント 2

分子も分母も $0$ になる $\frac{0}{0}$ の不定形です。分子・分母はどちらも $x - 3$ を因数にもちます。因数分解して約分しましょう。

ヒント 3

$\frac{( x - 3 ) ( x + 2 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x + 2}{x + 3}$ と変形できます。あとは $x \to 3$ としたときの値を求めます。

答えと解説

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\frac{5}{6}

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解説を読む

方針 $x = 3$ を代入すると、分子は $9 - 3 - 6 = 0$ 、分母は $9 - 9 = 0$ となり、 $\frac{0}{0}$ の不定形になります。そのまま代入しても値は決まらないので、式を変形してから極限を求めます。

手順1：分子と分母を因数分解する
$x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2), x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$

手順2：共通因数 $x - 3$ で約分する
$x \to 3$ の極限では $x \neq = 3$ の範囲で考えるので、 $x - 3 \neq = 0$ です。したがって $x - 3$ で約分できます。
$\frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 9} = \frac{( x - 3 ) ( x + 2 )}{( x - 3 ) ( x + 3 )} = \frac{x + 2}{x + 3}$

手順3：極限を求める
約分した式は $x = 3$ で分母が $0$ にならないので、 $x = 3$ を代入して極限値が求められます。
$x \to 3 lim \frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 9} = x \to 3 lim \frac{x + 2}{x + 3} = \frac{3 + 2}{3 + 3} = \frac{5}{6}$

よって、極限値は $\frac{5}{6}$ です。

別解

分子を因数分解すると $x^{2} - x - 6 = (x - 3) (x + 2)$ 、分母は $x^{2} - 9 = (x - 3) (x + 3)$ である。 $x \to 3$ のとき $x \neq = 3$ なので約分でき、 $\frac{x ^{2} - x - 6}{x ^{2} - 9} = \frac{x + 2}{x + 3}$ となる。よって極限値は $\frac{3 + 2}{3 + 3} = \frac{5}{6}$ 。検算として $x = 3.001$ を代入すると、分子は $9.006001 - 3.001 - 6 = 0.005001$ 、分母は $9.006001 - 9 = 0.006001$ で、比は約 $0.8334$ となり $5/6 \approx 0.8333$ に近い。

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