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極限の問題

難易度 1教科書の例題レベル数学III 極限

次の極限値を求めよ。ただし、 $x$ は実数とする。 $x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{3 x}$

この問題で使うもの

$sin x / x$ の極限（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（23 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

行き詰まったら、上から順に 1 つずつ開いてください。

ヒント 1

$θ \to 0 lim \frac{sin θ}{θ} = 1$ を使います。そのためには、分母を $sin$ の中身と同じ形にそろえることを考えましょう。

ヒント 2

$sin 5 x$ に対しては、分母が $5 x$ になるように $\frac{sin 5 x}{3 x} = \frac{sin 5 x}{5 x} \cdot \frac{5 x}{3 x}$ と変形します。

ヒント 3

$\frac{sin 5 x}{3 x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{sin 5 x}{5 x}$ となります。 $θ = 5 x$ とおくと $x \to 0$ のとき $θ \to 0$ なので、 $\frac{sin 5 x}{5 x}$ の極限を公式から求めましょう。

答えと解説

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\frac{5}{3}

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解説を読む

公式 $θ \to 0 lim \frac{sin θ}{θ} = 1$ を使います。この公式を使うには、分母を $sin$ の中身と同じ $5 x$ にそろえる必要があります。

分母と分子を見比べて、次のように変形します。 $\frac{sin 5 x}{3 x} = \frac{sin 5 x}{5 x} \cdot \frac{5 x}{3 x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{sin 5 x}{5 x}$

ここで $θ = 5 x$ とおくと、 $x \to 0$ のとき $θ \to 0$ です。よって $x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{5 x} = θ \to 0 lim \frac{sin θ}{θ} = 1$ となります。

したがって $x \to 0 lim \frac{sin 5 x}{3 x} = \frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}$ です。

別解

$\frac{sin 5 x}{3 x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{sin 5 x}{5 x}$ と変形する。 $x \to 0$ のとき $5 x \to 0$ なので、 $t \to 0 lim \frac{sin t}{t} = 1$ より $\frac{sin 5 x}{5 x} \to 1$ 。よって極限値は $\frac{5}{3}$ 。検算： $x = 0.01$ のとき $sin 0.05 \approx 0.049979$ 、これを $0.03$ で割ると約 $1.6660$ で、 $5/3 \approx 1.6667$ に近い。

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