極限の問題

方針 分子と分母をそれぞれ $x^2$ で割り、基本の極限 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ と $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\log (1+h)}{h}=1$ の組合せに直す。

変形 分子・分母を $x^2$ で割ると
$$\frac{1-\cos 2x}{x\log (1+3x)}=\frac{\frac{1-\cos 2x}{x^2}}{\frac{\log (1+3x)}{x}}$$
となる。

分子の極限 半角の公式より $1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ なので
$$\frac{1-\cos 2x}{x^2}=2{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\to 2\cdot 1^2=2(x\to 0)$$

分母の極限 $h=3x$ とおくと、$x\to 0$ のとき $h\to 0$ であり
$$\frac{\log (1+3x)}{x}=3\cdot \frac{\log (1+h)}{h}=3\log (1+h{)}^{\frac{1}{h}}$$
ここで $\underset{h\to 0}{\lim }(1+h{)}^{\frac{1}{h}}=e$ であるから、$3\log (1+h{)}^{\frac{1}{h}}\to 3\log e=3$ となる。

組合せ 以上より
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 2x}{x\log (1+3x)}=\frac{2}{3}$$

$1-\cos 2x=2{\sin }^{2}x$ より、与式は $\frac{2{\sin }^{2}x}{x\log (1+3x)}$。これを $2{\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\cdot \frac{3x}{\log (1+3x)}\cdot \frac{1}{3}$ と変形する。$x\to 0$ のとき $\frac{\sin x}{x}\to 1$、$\frac{\log (1+3x)}{3x}\to 1$ なので、極限値は $2\cdot 1\cdot 1\cdot \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
検算：$x=0.01$ のとき、分子 $1-\cos 0.02\approx 0.00019999$、分母 $0.01\cdot \log 1.03\approx 0.01\cdot 0.0295588=0.000295588$。比は約 $0.6766$。$x$ をさらに小さくすると $2/3$ に近づく（$x=0.001$ なら約 $0.6677$）。よって $\frac{2}{3}$ で妥当。