極限の問題

基本の極限の確認

まず、使う 2 つの基本の極限を確かめる。

(i) $t\to 0$ のとき
$$\frac{1-\cos t}{t^2}=\frac{(1-\cos t)(1+\cos t)}{t^2(1+\cos t)}=\frac{{\sin }^{2}t}{t^2}\cdot \frac{1}{1+\cos t}\to 1^2\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

(ii) $t\to 0$ のとき、$e^t-1=h$ とおくと $t=\log (1+h)$ であり、$t\to 0$ のとき $h\to 0$ となる。よって
$$\frac{e^t-1}{t}=\frac{h}{\log (1+h)}=\frac{1}{\log (1+h{)}^{\frac{1}{h}}}\to \frac{1}{\log e}=1$$

分子・分母を $x^2$ で割る

$x\to 0$ のとき分子・分母はともに $0$ に近づく。分子は $x^2$ 程度、分母も $x\cdot x=x^2$ 程度の大きさなので、分子・分母を $x^2$ で割る。
$$\frac{1-\cos 4x}{x\left(e^{2x}-1\right)}=\frac{\frac{1-\cos 4x}{x^2}}{\frac{e^{2x}-1}{x}}$$

基本の極限の形に直す

分子について、$4x=t$ とみると
$$\frac{1-\cos 4x}{x^2}=16\cdot \frac{1-\cos 4x}{(4x{)}^2}$$
となる。$x\to 0$ のとき $4x\to 0$ なので、(i) より $16\cdot \frac{1}{2}=8$ に収束する。

分母について、$2x=t$ とみると
$$\frac{e^{2x}-1}{x}=2\cdot \frac{e^{2x}-1}{2x}$$
となる。$x\to 0$ のとき $2x\to 0$ なので、(ii) より $2\cdot 1=2$ に収束する。

まとめ

分母の極限は $0$ でないので、商の極限は極限の商として求められる。
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos 4x}{x\left(e^{2x}-1\right)}=\frac{8}{2}=4$$

$1-\cos 4x=2{\sin }^{2}2x$ より、
$$\frac{1-\cos 4x}{x(e^{2x}-1)}=\frac{2{\sin }^{2}2x}{x(e^{2x}-1)}=2\cdot {\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)}^2\cdot 4x^2\cdot \frac{1}{x(e^{2x}-1)}$$
$$=8\cdot {\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)}^2\cdot \frac{x}{e^{2x}-1}=4\cdot {\left(\frac{\sin 2x}{2x}\right)}^2\cdot \frac{2x}{e^{2x}-1}.$$
$x\to 0$ で $\frac{\sin 2x}{2x}\to 1$、$\frac{e^{2x}-1}{2x}\to 1$ なので $\frac{2x}{e^{2x}-1}\to 1$。したがって極限値は $4\cdot 1\cdot 1=4$。

検算：$x$ が小さいとき $1-\cos 4x\approx 8x^2$、$x(e^{2x}-1)\approx 2x^2$ より比は $4$。一致する。