関数の極限

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-x-6}{x^2-9}$$

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)$$

次の極限値を求めよ。$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+6x}-x\right)$$

$a,b$ を実数の定数とする。関数 $f(x)$ を
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\sqrt{2x+a}-3}{x-3}& (x\ne 3)\\ b& (x=3)\end{array}$$
で定める。$f(x)$ が $x=3$ で連続であるとき，$a+b$ の値を求めよ。

広義積分
$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2(x+1)}$$
の値を求めよ。

$[0,1]$ 上の実数値連続関数全体のなす実バナッハ空間 $C([0,1])$ を、上限ノルム $\Vert f{\Vert }_{\infty }={\max }_{0\le x\le 1}|f(x)|$ で考える。線形汎関数 $\phi :C([0,1])\to \mathbb{R}$ を
$$\phi (f)={\int }_0^1(4x-1)f(x)dx+f(0)$$
で定める。$\phi$ の双対ノルム
$$\Vert \phi \Vert =\sup \{|\phi (f)|:f\in C([0,1]),\Vert f{\Vert }_{\infty }\le 1\}$$
の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して
$$I_n={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}{\cos }^{n}tdt$$
とおく。このとき
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{n}{I}_n=\sqrt{2\pi }$$
であることを証明せよ。ただし、ガウス積分 ${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-s^2/2}ds=\sqrt{2\pi }$ は用いてよい。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付きの準線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=-3\tanh x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。$\mathbb{R}\times [0,T)$ 上でこの初期値問題の $C^1$ 級の解（古典解）が存在するような $T>0$ の上限を $T^{\ast }$ とする。特性曲線の方法を用いて $T^{\ast }$ を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。すべての実数 $x$ に対して不等式
$$e^x\ge a(x+2)$$
が成り立つような $a$ の値の範囲を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\log (1+x^2)}{x^2}dx$$
の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\log \left(1+\frac{1}{x^2}\right)dx$$
の値を求めよ。

$u=u(x,t)$ に対する減衰項付きの準線形 1 階偏微分方程式の初期値問題
$$u_t+u{u}_x=-u(x\in \mathbb{R},t>0),u(x,0)=-3\arctan x(x\in \mathbb{R})$$
を考える。特性曲線の方法により、この問題は十分小さい $T>0$ に対して $\mathbb{R}\times [0,T)$ 上で $C^1$ 級の解（古典解）をただ 1 つもつ。
$$T^{\ast }=\sup \{T>0\mid \mathbb{R}\times [0,T)\text{ 上で }{C}^1\text{ 級の解が存在する}\}$$
とおくとき、$T^{\ast }$ を求めよ。ただし $T^{\ast }=\infty$ となる場合は $\infty$ と答えよ。

$n$ を正の整数とし、時点 $k=0,1,\dots ,n$（年）に実数のキャッシュフロー $C_k$ が生じる投資を考える（$C_k<0$ は支出、$C_k>0$ は収入を表す）。年複利の利率 $i>-1$ に対する正味現在価値を
$$\mathrm{NPV}(i)=\sum _{k=0}^n\frac{C_k}{(1+i{)}^k}$$
とする。ある整数 $m$（$1\le m\le n$）があって、次の 4 条件が成り立つとする（支出がすべて収入より前に起こる投資）。
$$C_0<0,C_k\le 0(1\le k\le m-1),C_k\ge 0(m\le k\le n-1),C_n>0$$
ただし、$m=1$ のとき 2 番目の条件、$m=n$ のとき 3 番目の条件は対象となる $k$ がないので、条件を課さないものとする。このとき、方程式 $\mathrm{NPV}(i)=0$ を満たす $i\in (-1,\infty )$（内部収益率）はちょうど 1 つ存在し、さらにその $i$ が正であるための必要十分条件は $\sum _{k=0}^n{C}_k>0$ であることを証明せよ。

ただし、中間値の定理は用いてよい。

実数 $x$ に対して、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。$n$ を $2$ 以上の整数とし、$x>0$ で定義された関数
$$f(x)=[x^2]-[x{]}^2$$
を考える。開区間 $0<x<n$ において $f(x)$ が連続でない点の個数を $n$ の式で表せ。

曲線 $C:y=\frac{\log x}{x}(x>0)$ を考える。ただし、$\log$ は自然対数とする。$b$ を実数の定数とし、$y$ 軸上の点 $\mathrm{B}(0,b)$ を通る $C$ の接線がちょうど $2$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。なお、必要ならば $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\log x}{x}=0$ を用いてよい。

広義積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{3}x}{x^2}dx$$ の値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$0\le x\le 2$ で定義された関数
$$f(x)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2{\left(x^2-2ax\right)}^{2n}+x}{{\left(x^2-2ax\right)}^{2n}+1}$$
を考える。ただし，$n$ は正の整数である。$f(x)$ が区間 $0\le x\le 2$ で連続となるような $a$ の値の範囲を求めよ。なお，端点 $x=0$, $x=2$ では，それぞれ右側，左側からの連続性を考えるものとする。

$k$ を実数の定数とする。$x$ についての方程式
$$4e^x=k\left(4x^2+3\right)$$
が異なる 3 つの実数解をもつような $k$ の値の範囲を求めよ。ただし、$e$ は自然対数の底であり、$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x}{x^2}=\infty$ を用いてよい。

曲線 $C:y=\frac{1}{1+x^2}$ と、$y$ 軸上の点 $\mathrm{A}(0,b)$ を考える。ただし $b$ は実数の定数とする。点 $\mathrm{A}$ を通る $C$ の接線がちょうど $4$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。

$m$ を実数の定数とする。直線 $\ell :y=mx+2$ と双曲線 $C:x^2-\frac{y^2}{4}=1$ が、$x$ 座標がともに正である異なる 2 点 $\mathrm{P}$, $\mathrm{Q}$ で交わるとする。このとき、線分 $\mathrm{PQ}$ の中点の $x$ 座標のとりうる値の範囲を求めよ。

曲線 $C:y=\log x(x>0)$ と点 $\mathrm{A}(3,b)$ を考える。ただし、$b$ は実数の定数であり、$\log$ は自然対数である。点 $\mathrm{A}$ を通る $C$ の法線がちょうど $3$ 本存在するような $b$ の値の範囲を求めよ。

実数 $x$ に対して、$x$ を超えない最大の整数を $[x]$ で表す。$a,b$ を実数の定数とし、すべての実数 $x$ に対して関数 $f(x)$ を
$$f(x)=[x{]}^2+\left(x-[x]\right)\left(a[x]+b\right)$$
で定める。$f(x)$ がすべての実数 $x$ で連続となるように定数 $a,b$ を定めたとき、方程式 $f(x)=12$ を満たす正の実数 $x$ を求めよ。

$x>0$ で定義された微分可能な関数 $y(x)$ が、微分方程式 $$x{y}^{\prime }+2y=\sin x(x>0)$$ を満たし、さらに $x\to +0$ のとき $y(x)$ がある有限の値に収束するとする。$y(\pi )$ の値を求めよ。

$n$ を $2$ 以上の整数とし、時刻 $0<t_1<t_2<\cdots <t_n$ にそれぞれ正の金額 $c_1,c_2,\dots ,c_n$ が支払われる債券を考える。連続複利の利回り $y\in \mathbb{R}$ に対して、この債券の価格を
$$P(y)=\sum _{k=1}^n{c}_k{e}^{-y{t}_k}$$
とし、マコーレー・デュレーションを
$$D(y)=\frac{1}{P(y)}\sum _{k=1}^n{t}_k{c}_k{e}^{-y{t}_k}$$
で定める。このとき、関数 $D:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ は $\mathbb{R}$ 上で狭義単調減少であり、その値域は開区間 $(t_1,t_n)$ に一致することを証明せよ。

ただし、微分可能な関数についての平均値の定理と中間値の定理は用いてよい。

$S>0$, $K>0$, $T>0$, $r\in \mathbb{R}$ を定数とする。標準正規分布の密度関数と分布関数を
$$\phi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2},\Phi (x)={\int }_{-\infty }^x\phi (u)du$$
とし、ボラティリティ $\sigma >0$ に対するヨーロピアン・コール・オプションのブラック・ショールズ価格を
$$C(\sigma )=S\Phi (d_1)-K{e}^{-rT}\Phi (d_2),d_1=\frac{\log (S/K)+\left(r+\frac{{\sigma }^2}{2}\right)T}{\sigma \sqrt{T}},d_2=d_1-\sigma \sqrt{T}$$
で定める。$L=\max \{S-K{e}^{-rT},0\}$ とおくとき、写像 $\sigma \mapsto C(\sigma )$ は区間 $(0,\infty )$ から開区間 $(L,S)$ への全単射であることを証明せよ（すなわち、$(L,S)$ に属する各価格 $c$ に対して $C(\sigma )=c$ となるインプライド・ボラティリティ $\sigma >0$ がちょうど 1 つ存在し、$C$ の値はすべて $(L,S)$ に属する）。

ただし、$\Phi$ は $\mathbb{R}$ 上で微分可能で ${\Phi }^{\prime }=\phi$ であること、$\underset{x\to -\infty }{\lim }\Phi (x)=0$, $\underset{x\to \infty }{\lim }\Phi (x)=1$, $\Phi (0)=\frac{1}{2}$ であること、および平均値の定理・中間値の定理は用いてよい。

実数全体で定義された関数 $$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$$ を考える。$n$ を正の整数とし、$f(x)$ の第 $n$ 次導関数を $f^{(n)}(x)$ で表す。方程式 $f^{(n)}(x)=0$ の異なる実数解すべてについて、その $2$ 乗の和を $n$ の式で表せ。