微分法の問題

$f(x)=\frac{\log x}{x}$ とおくと
$$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2},f^{\prime \prime }(x)=\frac{-\frac{1}{x}\cdot x^2-(1-\log x)\cdot 2x}{x^4}=\frac{2\log x-3}{x^3}$$
である。

接線が点 B を通る条件

$C$ 上の点 $(t,f(t))$ $(t>0)$ における接線は
$$y=\frac{1-\log t}{t^2}(x-t)+\frac{\log t}{t}$$
である。$x=0$ を代入すると $y$ 切片は
$$-\frac{1-\log t}{t}+\frac{\log t}{t}=\frac{2\log t-1}{t}$$
となる。よって、点 $(t,f(t))$ における接線が $\mathrm{B}(0,b)$ を通る条件は
$$b=g(t),g(t)=\frac{2\log t-1}{t}$$
である。

異なる接点は異なる接線を与えること

$t_1\ne t_2$ である 2 点での接線が同じ直線 $y=mx+n$ になったとする。$\phi (x)=f(x)-mx-n$ とおくと、$\phi (t_1)=\phi (t_2)=0$, ${\phi }^{\prime }(t_1)={\phi }^{\prime }(t_2)=0$ である。平均値の定理（ロルの定理）より、$t_1$ と $t_2$ の間に ${\phi }^{\prime }(c)=0$ となる $c$ があり、${\phi }^{\prime }$ は少なくとも 3 つの異なる点 $t_1,c,t_2$ で $0$ になる。再び平均値の定理を使うと、${\phi }^{\prime \prime }(x)=f^{\prime \prime }(x)$ は少なくとも 2 つの異なる点で $0$ になる。しかし $f^{\prime \prime }(x)=0$ となるのは $\log x=\frac{3}{2}$、すなわち $x=e^{\frac{3}{2}}$ のときだけなので矛盾する。

したがって、B を通る接線の本数は、方程式 $g(t)=b$ の正の解の個数に等しい。

$g(t)$ の増減

$$g^{\prime }(t)=\frac{\frac{2}{t}\cdot t-(2\log t-1)}{t^2}=\frac{3-2\log t}{t^2}$$
より、$0<t<e^{\frac{3}{2}}$ で $g^{\prime }(t)>0$、$t>e^{\frac{3}{2}}$ で $g^{\prime }(t)<0$ である。極大値（最大値）は
$$g\left(e^{\frac{3}{2}}\right)=\frac{3-1}{e^{\frac{3}{2}}}=\frac{2}{e\sqrt{e}}$$
である。

また、$t\to +0$ のとき $2\log t-1\to -\infty$, $\frac{1}{t}\to \infty$ だから $g(t)\to -\infty$。$t\to \infty$ のとき
$$g(t)=2\cdot \frac{\log t}{t}-\frac{1}{t}\to 0$$
であり、$t>\sqrt{e}$ では $g(t)>0$ である。

よって $y=g(t)$ のグラフは、$t\to +0$ で $-\infty$ から増加して $t=\sqrt{e}$ で $0$ を通り、$t=e^{\frac{3}{2}}$ で最大値 $\frac{2}{e\sqrt{e}}$ をとったあと減少して $0$ に近づく（$0$ にはならない）。

解の個数

直線 $y=b$ との共有点を考えると、方程式 $g(t)=b$ の正の解は
- $b\leqq 0$ のとき $1$ 個
- $0<b<\frac{2}{e\sqrt{e}}$ のとき $2$ 個（$\sqrt{e}<t<e^{\frac{3}{2}}$ と $t>e^{\frac{3}{2}}$ に 1 個ずつ）
- $b=\frac{2}{e\sqrt{e}}$ のとき $1$ 個
- $b>\frac{2}{e\sqrt{e}}$ のとき $0$ 個

である。

以上より、求める $b$ の値の範囲は
$$0<b<\frac{2}{e\sqrt{e}}$$
である。

$f(x)=\frac{\log x}{x}$ とおくと $f^{\prime }(x)=\frac{1-\log x}{x^2}$。\n\n接点を $(t,f(t))$ $(t>0)$ とすると、接線は $y=f(t)+f^{\prime }(t)(x-t)$。これが $\mathrm{B}(0,b)$ を通る条件は\n$b=f(t)-t{f}^{\prime }(t)=\frac{\log t}{t}-\frac{1-\log t}{t}=\frac{2\log t-1}{t}$。\n\n異なる $t$ に対して接線は異なる（接点が異なれば傾きと接点で別の直線。$f$ の接線が同じ直線になるのは複接線の場合だが、$y$ 軸上の同じ点 B を通り同じ直線なら、その直線は 2 つの接点をもつ複接線となる。$f$ は $x>0$ で変曲点を 1 つ（$x=e^{3/2}$）もつだけで凹凸が 1 回しか変わらず、複接線をもたないので、$t$ の個数が接線の本数に等しい）。\n\n$g(t)=\frac{2\log t-1}{t}$ とおくと\n$g^{\prime }(t)=\frac{\frac{2}{t}\cdot t-(2\log t-1)}{t^2}=\frac{3-2\log t}{t^2}$。\n\n$g^{\prime }(t)=0$ となるのは $t=e^{3/2}$。$0<t<e^{3/2}$ で $g^{\prime }>0$（増加）、$t>e^{3/2}$ で $g^{\prime }<0$（減少）。\n極大値（最大値）は $g(e^{3/2})=\frac{3-1}{e^{3/2}}=2e^{-3/2}$。\n$t\to +0$ のとき $2\log t-1\to -\infty$、分母 $t\to +0$ なので $g(t)\to -\infty$。\n$t\to \infty$ のとき $g(t)=2\cdot \frac{\log t}{t}-\frac{1}{t}\to 0$。また $g(t)=0$ となるのは $t=e^{1/2}$ で、$t>e^{1/2}$ で $g(t)>0$、$t<e^{1/2}$ で $g(t)<0$。したがって $t>e^{3/2}$ では $g$ は $2e^{-3/2}$ から $0$ に単調に近づき、$0$ にはならない（$0<g(t)<2e^{-3/2}$）。\n\n直線 $y=b$ と $y=g(t)$ のグラフの共有点の個数を調べる。\n- $b>2e^{-3/2}$: 0 個\n- $b=2e^{-3/2}$: 1 個\n- $0<b<2e^{-3/2}$: $0<t<e^{3/2}$ に 1 個、$t>e^{3/2}$ に 1 個で計 2 個\n- $b=0$: $0<t<e^{3/2}$ の $t=e^{1/2}$ のみで 1 個（$t>e^{3/2}$ では $g>0$）\n- $b<0$: $0<t<e^{3/2}$ に 1 個のみで 1 個\n\nよって接線がちょうど 2 本となるのは $0<b<2e^{-3/2}$。\n\n検算: $b=\frac{1}{e^{3/2}}\cdot 1$ 付近（$b=e^{-3/2}\approx 0.223$、最大値は約 $0.446$）で $g(t)=e^{-3/2}$ は $t=e^1$ で $g(e)=\frac{1}{e}\approx 0.368$、$t=e^{1/2}$ で $0$ なので $(e^{1/2},e)$ に 1 解、$t=e^{3/2}$ 以降で $g(e^2)=\frac{3}{e^2}\approx 0.406$、$g(e^3)=\frac{5}{e^3}\approx 0.249$、$g(e^4)=\frac{7}{e^4}\approx 0.128$ なので $(e^3,e^4)$ にもう 1 解あり、計 2 個で一致する。