微分法の問題

$x>0$ のとき $\sqrt{x}>0$ なので、与えられた不等式の両辺を $\sqrt{x}$ で割ると、次の不等式と同値になる。
$$\frac{\log x}{\sqrt{x}}\le a$$
したがって、求める条件は「すべての $x>0$ に対して $g(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}}\le a$ が成り立つこと」である。

$g(x)=x^{-\frac{1}{2}}\log x$ $(x>0)$ を微分すると
$$g^{\prime }(x)=-\frac{1}{2}{x}^{-\frac{3}{2}}\log x+x^{-\frac{1}{2}}\cdot \frac{1}{x}=x^{-\frac{3}{2}}\left(1-\frac{1}{2}\log x\right)=\frac{2-\log x}{2x\sqrt{x}}$$
となる。$x>0$ では $2x\sqrt{x}>0$ なので、$g^{\prime }(x)$ の符号は $2-\log x$ の符号と一致する。
- $0<x<e^2$ のとき $\log x<2$ なので $g^{\prime }(x)>0$
- $x=e^2$ のとき $g^{\prime }(x)=0$
- $x>e^2$ のとき $g^{\prime }(x)<0$

よって、$g(x)$ は $0<x\le e^2$ で増加し、$x\ge e^2$ で減少する。したがって $x=e^2$ で最大となり、最大値は
$$g(e^2)=\frac{\log e^2}{\sqrt{e^2}}=\frac{2}{e}$$
である。

すべての $x>0$ で $g(x)\le a$ が成り立つための必要十分条件は、$g(x)$ の最大値が $a$ 以下であること、すなわち
$$a\ge \frac{2}{e}$$
である。

答えは $a\ge \frac{2}{e}$、つまり区間で表すと $\left[\frac{2}{e},\infty \right)$ である。

$x>0$ なので両辺を $\sqrt{x}$ で割り、$a\ge \frac{\log x}{\sqrt{x}}$ がすべての $x>0$ で成り立つ条件を考える。
$f(x)=\frac{\log x}{\sqrt{x}}$ とおくと、
$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\sqrt{x}-\log x\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}=\frac{2-\log x}{2x\sqrt{x}}$。
$x<e^2$ で $f^{\prime }>0$、$x>e^2$ で $f^{\prime }<0$ なので、$x=e^2$ で最大となり、最大値は $f(e^2)=\frac{2}{e}$。
($x\to 0$ のとき $f\to -\infty$、$x\to \infty$ のとき $f\to 0$ であり、最大値 $2/e$ は確かに取られる。)
よって $a\ge \frac{2}{e}$。
検算: $a=2/e$ のとき、$g(x)=\frac{2}{e}\sqrt{x}-\log x$ は $x=e^2$ で $g=\frac{2}{e}\cdot e-2=0$、$g^{\prime }(x)=\frac{1}{e\sqrt{x}}-\frac{1}{x}$ で $x=e^2$ のとき $\frac{1}{e^2}-\frac{1}{e^2}=0$ となり、最小値 0 で成立する。
答え: $a\ge \frac{2}{e}$