微分法の問題

方針：左辺から $x$ を引いた差の関数をつくり、その最小値を増減表で調べる。

手順 1（差の関数をつくる）
与えられた不等式は
$$x\log x-x\geqq k$$
と同じである。そこで
$$f(x)=x\log x-x(x>0)$$
とおく。すべての $x>0$ で $f(x)\geqq k$ が成り立つための条件は、「$k$ が $f(x)$ の最小値以下であること」である。

手順 2（微分する）
積の微分の公式より
$$f^{\prime }(x)=1\cdot \log x+x\cdot \frac{1}{x}-1=\log x$$
となる。

手順 3（増減を調べる）
$f^{\prime }(x)=0$ となるのは $\log x=0$、すなわち $x=1$ のときである。
- $0<x<1$ のとき $\log x<0$ なので $f^{\prime }(x)<0$ であり、$f(x)$ は減少する。
- $x>1$ のとき $\log x>0$ なので $f^{\prime }(x)>0$ であり、$f(x)$ は増加する。

増減表は次のようになる。
$$\begin{array}{ccccc}x& (0)& \cdots & 1& \cdots \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +\\ f(x)& & \searrow & -1& \nearrow \end{array}$$

手順 4（最小値を求める）
$f(x)$ は $x=1$ で最小となる。その値は
$$f(1)=1\cdot \log 1-1=0-1=-1$$
である。よって、すべての $x>0$ に対して $f(x)\geqq -1$ が成り立つ。等号は $x=1$ のときに成り立つ。

手順 5（結論）
すべての $x>0$ で $f(x)\geqq k$ となる条件は $k\leqq -1$ である。$k>-1$ とすると、$x=1$ のとき $f(1)=-1<k$ となり、不等式が成り立たない。

したがって、$k$ の最大値は $-1$ である。

不等式は $x>0$ で $k\leqq x\log x-x$ と同値。$f(x)=x\log x-x$ とおくと $f^{\prime }(x)=\log x+1-1=\log x$。$0<x<1$ で $f^{\prime }(x)<0$、$x>1$ で $f^{\prime }(x)>0$ なので、$x=1$ で最小値 $f(1)=0-1=-1$ をとる。よってすべての $x>0$ で $k\leqq f(x)$ となる条件は $k\leqq -1$ で、$k$ の最大値は $-1$。検算：$k=-1$ のとき $x\log x-x+1\geqq 0$ で、$x=1$ で等号が成り立ち、$x=e$ では $e-e+1=1>0$、$x=1/e$ では $-1/e-1/e+1=1-2/e>0$ となり矛盾しない。