微分法の問題

方針：差の関数の増減を調べる。

右辺から左辺を引いた関数
$$f(x)=\frac{x}{e}-\log x(x>0)$$
を考えます。不等式 $\log x\leqq \frac{x}{e}$ は $f(x)\geqq 0$ と同じです。そこで $f(x)$ の最小値を調べます。

手順1：微分する。
$$f^{\prime }(x)=\frac{1}{e}-\frac{1}{x}=\frac{x-e}{ex}$$

手順2：$f^{\prime }(x)$ の符号を調べる。
$x>0$ では分母 $ex>0$ なので、$f^{\prime }(x)$ の符号は分子 $x-e$ の符号と同じです。よって
- $0<x<e$ のとき $f^{\prime }(x)<0$（減少）
- $x=e$ のとき $f^{\prime }(x)=0$
- $x>e$ のとき $f^{\prime }(x)>0$（増加）

増減表は次のようになります。
$$\begin{array}{ccccc}x& 0& \cdots & e& \cdots \\ f^{\prime }(x)& & -& 0& +\\ f(x)& & \searrow & 0& \nearrow \end{array}$$

手順3：最小値を求める。
$f(x)$ は $x=e$ で最小となり、最小値は
$$f(e)=\frac{e}{e}-\log e=1-1=0$$

手順4：結論。
したがって、$x>0$ のすべての $x$ で $f(x)\geqq 0$、すなわち $\log x\leqq \frac{x}{e}$ が成り立ちます。また、$0<x<e$ では $f(x)$ は減少して $f(e)=0$ に達し、$x>e$ では増加するので、$x\ne e$ のとき $f(x)>0$ です。よって等号が成り立つのは $f(x)=0$ となる $x=e$ のときだけです。

答え：$x=e$

$f(x)=\frac{x}{e}-\log x$ ($x>0$) とおく。
$f^{\prime }(x)=\frac{1}{e}-\frac{1}{x}=\frac{x-e}{ex}$ より、$0<x<e$ で $f^{\prime }(x)<0$、$x>e$ で $f^{\prime }(x)>0$。したがって $f(x)$ は $x=e$ で最小値をとり、$f(e)=1-1=0$。
よって $f(x)\geqq 0$、すなわち $\log x\leqq \frac{x}{e}$ で、等号が成り立つのは $x=e$ のときだけである。
検算: $x=e$ のとき $\log e=1$、$\frac{e}{e}=1$ で等号が成り立つ。最小値は $x=e$ だけでとられる（$f$ は $x<e$ で単調減少、$x>e$ で単調増加）ので、他に等号が成り立つ $x$ はない。