第 2 次導関数とグラフの凹凸

第 2 次導関数の符号から凹凸・変曲点を求められる

前提

増減表と極値（数学II 微分法と積分法）
積と商の微分（数学III 微分法）

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算数中学高校大学大学院

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説明

関数を 2 回微分した第 2 次導関数 $f^{''} (x)$ の符号を調べると、グラフが下向きにへこむ形（下に凸）か、上向きにふくらむ形（上に凸）かがわかります。さらに、曲がり方が切り替わる点（変曲点）を求められます。増減表に凹凸の情報を加えると、グラフの概形をより正確にかけるようになります。

なぜそうしてよいのか

関数 $y = f (x)$ の導関数 $f^{'} (x)$ をさらに微分したものを第 2 次導関数といい、 $f^{''} (x)$ と書きます。たとえば $f (x) = x^{3}$ なら $f^{'} (x) = 3 x^{2}$ 、 $f^{''} (x) = 6 x$ です。 $f^{'} (x)$ は接線の傾きを表すので、 $f^{''} (x)$ は「接線の傾きがどう変化しているか」を表します。これは、増減表で $f^{'} (x)$ の符号から $f (x)$ の増減を調べたのと同じ考え方を、 $f^{'} (x)$ に対して使うということです。

ある区間で $f^{''} (x) > 0$ なら $f^{'} (x)$ は増加するので、 $x$ が右へ進むにつれて接線の傾きがだんだん大きくなります。傾きが大きくなり続ける曲線は、上向きに反り上がり、谷のようにへこんだ形になります。この状態を「下に凸」といいます（例: $y = x^{2}$ では $f^{''} (x) = 2 > 0$ ）。反対に $f^{''} (x) < 0$ なら傾きはだんだん小さくなり、山のようにふくらんだ形になります。これを「上に凸」といいます（例: $y = - x^{2}$ ）。

グラフ上の点 $(a, f (a))$ を境に、凹凸が「下に凸」から「上に凸」へ、またはその逆へ切り替わるとき、この点を変曲点といいます。 $f^{''} (x)$ が多項式などで連続な場合、符号が切り替わる場所では $f^{''} (a) = 0$ になります。そこで $f^{''} (x) = 0$ の解を候補とし、その前後で $f^{''} (x)$ の符号が実際に変わるかを確かめます。

手順

$f^{'} (x)$ を求め、それをもう一度微分して $f^{''} (x)$ を求める。
方程式 $f^{''} (x) = 0$ を解き、変曲点の候補となる $x$ の値を求める。
候補の $x$ で区間を分け、各区間での $f^{''} (x)$ の符号を調べて表にまとめる。
$f^{''} (x) > 0$ の区間は下に凸、 $f^{''} (x) < 0$ の区間は上に凸と判断する。
$x = a$ の前後で $f^{''} (x)$ の符号が変わるときだけ、点 $(a, f (a))$ を変曲点とする。座標の $y$ の値は $f (a)$ を計算して求める。

例題

曲線 $y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ の変曲点の座標を求めよ。

例題の解答

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ とおく。

【手順1】 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$ 、 $f^{''} (x) = 6 x - 12$ 。

【手順2】 $f^{''} (x) = 0$ とすると $6 x - 12 = 0$ より $x = 2$ 。

【手順3】 $x < 2$ のとき $f^{''} (x) < 0$ 、 $x > 2$ のとき $f^{''} (x) > 0$ 。表にまとめると次のようになる。
$x$ ： $\dots$ ｜ $2$ ｜ $\dots$
$f^{''} (x)$ ： $-$ ｜ $0$ ｜ $+$

【手順4】 $x < 2$ で上に凸、 $x > 2$ で下に凸。

【手順5】 $x = 2$ の前後で $f^{''} (x)$ の符号が負から正に変わるので、 $x = 2$ に対応する点は変曲点である。 $f (2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$ より、変曲点の座標は $(2, 3)$ 。

答え: $(2, 3)$

よくある誤り

$f^{''} (a) = 0$ となる点をそのまま変曲点としてしまう誤り。正しくは、前後で $f^{''} (x)$ の符号が変わることを確かめる必要がある。例えば $f (x) = x^{4}$ では $f^{''} (x) = 12 x^{2}$ で $f^{''} (0) = 0$ だが、 $x = 0$ の前後で $f^{''} (x) ≧ 0$ のまま符号が変わらないので、原点は変曲点ではない（グラフは全体で下に凸）。
$f^{''} (x) > 0$ を「上に凸」と覚えてしまう誤り。正しくは、 $f^{''} (x) > 0$ なら接線の傾きが増え続けるので下に凸（ $y = x^{2}$ の形）、 $f^{''} (x) < 0$ なら上に凸（ $y = - x^{2}$ の形）である。
変曲点を $f^{'} (x) = 0$ から求めてしまう誤り。 $f^{'} (x) = 0$ は極値の候補を探す式である。変曲点の候補は $f^{''} (x) = 0$ から求める。例題では $f^{'} (x) = 0$ の解は $x = 1, 3$ （極値をとる $x$ ）であり、変曲点の $x = 2$ とは異なる。
変曲点を $x = 2$ のように $x$ 座標だけで答えてしまう誤り。変曲点はグラフ上の点なので、 $f (2) = 3$ も計算し、 $(2, 3)$ と座標で答える。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

増減・凹凸・漸近線とグラフ（数学III 微分法）
2 変数関数の極値（大学数学微分積分）
凸集合と凸関数の定義（大学数学最適化・線形計画法）