2 変数関数の極値

停留点を求め、2 階の偏導関数（ヘッセ行列式）で極大・極小・鞍点を判定できる

前提

偏微分と全微分（大学数学微分積分）
第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）

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算数中学高校大学大学院

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第 2 次導関数とグラフの凹凸（数学III 微分法）

説明

2 変数関数 $f (x, y)$ が、ある点の近くで一番大きくなる（極大）のか、一番小さくなる（極小）のか、どちらでもない「鞍点」なのかを判定できるようになります。まず、1 階の偏導関数が両方 $0$ になる点（停留点）を探します。次に、2 階の偏導関数から作る量 $D = f_{xx} f_{y y} - (f_{x y})^{2}$ （ヘッセ行列式）の符号で、その点の種類を決めます。最適化問題や、曲面の形を調べる場面で使います。

なぜそうしてよいのか

極値の候補を絞る。 $f$ が点 $(a, b)$ で極値をとるとします。このとき、 $y = b$ に固定した 1 変数関数 $x \mapsto f (x, b)$ も $x = a$ で極値をとります。よって 1 変数の場合と同じく $f_{x} (a, b) = 0$ です。同様に $f_{y} (a, b) = 0$ も成り立ちます。したがって、偏微分可能な $f$ の極値は、 $f_{x} = f_{y} = 0$ をみたす停留点でしか起こりません。ただし逆は成り立たず、停留点でも極値でないことがあります。

停留点のまわりの曲がり方を調べる。 以下、2 階偏導関数はすべて連続とします。このとき $f_{x y} = f_{y x}$ が成り立ちます。方向 $(h, k) \neq = (0, 0)$ を 1 つ決め、その方向の直線に沿った 1 変数関数 $g (t) = f (a + t h, b + t k)$ を考えます。合成関数の微分（連鎖律）より
$g^{'} (t) = f_{x} (a + t h, b + t k) h + f_{y} (a + t h, b + t k) k$
です。停留点なので $g^{'} (0) = 0$ です。もう一度 $t$ で微分します。 $f_{x} (a + t h, b + t k)$ を $t$ で微分すると、連鎖律で $f_{xx} h + f_{x y} k$ になります。同様に $f_{y} (a + t h, b + t k)$ を微分すると $f_{y x} h + f_{y y} k$ になります（偏導関数はすべて点 $(a + t h, b + t k)$ での値）。よって
$g^{''} (t) = (f_{xx} h + f_{x y} k) h + (f_{y x} h + f_{y y} k) k = f_{xx} h^{2} + 2 f_{x y} hk + f_{y y} k^{2}$
となります。最後の等号で $f_{y x} = f_{x y}$ を使いました。 $t = 0$ とおき、 $A = f_{xx} (a, b), B = f_{x y} (a, b), C = f_{y y} (a, b)$ と書くと、次の式が得られます。
$g^{''} (0) = Q (h, k), Q (h, k) = A h^{2} + 2 B hk + C k^{2}$

$Q$ の符号を $D = A C - B^{2}$ で調べる。 $A \neq = 0$ のとき、平方完成すると
$Q (h, k) = A (h + \frac{B}{A} k)^{2} + \frac{A C - B ^{2}}{A} k^{2}$
です。 $D > 0$ なら $A C > B^{2} \geq 0$ なので $A \neq = 0$ は自動的に成り立ちます。このとき 2 つの項はどちらも $A$ と同じ符号か $0$ です。さらに、2 つの項が同時に $0$ になるのは $k = 0$ かつ $h = 0$ のときだけです。よって、すべての $(h, k) \neq = (0, 0)$ で $Q$ は $A$ と同じ符号になります。一方 $D < 0$ のときは、 $Q$ が方向によって正にも負にもなります。 $A \neq = 0$ なら、 $(h, k) = (1, 0)$ で $Q = A$ 、 $(h, k) = (- B / A, 1)$ で $Q = D / A$ となり、両者は符号が逆です。 $A = 0$ なら $D = - B^{2} < 0$ より $B \neq = 0$ です。このとき $(h, k) = (s, 1)$ で $Q = 2 B s + C$ となり、 $s$ を動かせば正にも負にもなります。

判定の結論。 $D < 0$ の場合は、ここまでの議論で結論が出ます。 $Q > 0$ となる方向では、 $g^{'} (0) = 0, g^{''} (0) > 0$ です。よって 1 変数の判定から、その直線上の近くの点では $f > f (a, b)$ となります。 $Q < 0$ となる方向では、逆に $f < f (a, b)$ となります。つまり $(a, b)$ のどんなに近くにも、 $f (a, b)$ より大きい値と小さい値の両方があります。したがって極値ではありません。ある方向には谷底、別の方向には山頂という、馬の鞍のような形なので、これを鞍点といいます。

$D > 0$ の場合は注意が必要です。どの直線に沿っても極小になる、というだけでは、2 変数の極小は保証されません。実際、 $f = (y - x^{2}) (y - 3 x^{2})$ は、原点を通るどの直線上でも原点で極小になります。しかし曲線 $y = 2 x^{2}$ 上では $f = - x^{4} < 0 = f (0, 0)$ なので、原点で極小ではありません（この例では原点で $D = 0$ です）。 $D > 0$ のときに極値が保証される本当の理由は、方向によらない一様な評価があることです。すなわち、ある正の数 $m$ があって $Q (h, k) \geq m (h^{2} + k^{2})$ のような下からの評価ができます（ $A > 0$ の場合）。そして $f$ と 2 次の近似との誤差は、点の近くでは $h^{2} + k^{2}$ よりずっと小さくなります。この誤差の評価をきちんと示すには、本ページの範囲を超える道具が必要です。そこで、ここでは次を判定法として認めて使います： $D > 0, A > 0$ なら極小、 $D > 0, A < 0$ なら極大。なお $D = 0$ のときは、2 次の情報だけでは決まらないので判定できません。

手順

偏導関数 $f_{x}, f_{y}$ を求める。
連立方程式 $f_{x} = 0, f_{y} = 0$ を解き、停留点をすべて求める。解を落とさないよう、文字で割るときは $0$ の場合も調べる。
2 階偏導関数 $f_{xx}, f_{x y}, f_{y y}$ を求め、 $D = f_{xx} f_{y y} - (f_{x y})^{2}$ を作る。
各停留点で $D$ の値を計算して判定する。 $D > 0$ かつ $f_{xx} > 0$ なら極小、 $D > 0$ かつ $f_{xx} < 0$ なら極大、 $D < 0$ なら鞍点（極値でない）、 $D = 0$ なら判定できないので別に調べる。
極大・極小と判定した点で $f$ の値を計算し、極大値・極小値とする。

例題

$f (x, y) = x^{3} - 3 x y + y^{3}$ の極小値を求めよ。

例題の解答

手順 1: $f_{x} = 3 x^{2} - 3 y, f_{y} = - 3 x + 3 y^{2}$ 。

手順 2: $f_{x} = 0$ から $y = x^{2}$ 、 $f_{y} = 0$ から $x = y^{2}$ である。代入すると $x = x^{4}$ 、すなわち $x (x^{3} - 1) = x (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ となる。 $x^{2} + x + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} + \frac{3}{4} > 0$ だから $x = 0, 1$ である。よって停留点は $(0, 0), (1, 1)$ の 2 つ。

手順 3: $f_{xx} = 6 x, f_{x y} = - 3, f_{y y} = 6 y$ より $D = 36 x y - 9$ 。

手順 4: $(0, 0)$ では $D = - 9 < 0$ なので鞍点であり、極値ではない。 $(1, 1)$ では $D = 36 - 9 = 27 > 0$ 、かつ $f_{xx} = 6 > 0$ なので極小。

手順 5: $f (1, 1) = 1 - 3 + 1 = - 1$ 。

よって $f$ は点 $(1, 1)$ で極小値 $- 1$ をとる（極大値はない）。

答え: $- 1$

よくある誤り

$D$ を $f_{xx} f_{y y} - f_{x y}$ や $f_{xx} f_{y y} + (f_{x y})^{2}$ としてしまう誤り。正しくは $D = f_{xx} f_{y y} - (f_{x y})^{2}$ である。例題の $(0, 0)$ なら $D = 0 \cdot 0 - (- 3)^{2} = - 9$ 。
$D < 0$ のとき、 $f_{xx} < 0$ だから極大と判定してしまう誤り。 $D < 0$ なら $f_{xx}$ の符号に関係なく鞍点で、極値ではない。例えば $f = x^{2} - y^{2}$ の原点は $D = 2 \cdot (- 2) - 0^{2} = - 4 < 0$ で、 $x$ 方向には極小、 $y$ 方向には極大になっている。
$D = 0$ のとき「極値なし」と決めてしまう誤り。正しくは判定不能で、直接調べる必要がある。例えば $x^{4} + y^{4}$ も $x^{4} - y^{4}$ も原点で $D = 0$ である。前者は $f \geq 0 = f (0, 0)$ より極小、後者は $x$ 軸上で正・ $y$ 軸上で負なので鞍点で、極値ではない。
停留点を求めるとき、 $x = x^{4}$ の両辺を $x$ で割って $x^{3} = 1$ とし、 $x = 0$ を落としてしまう誤り。正しくは $x (x^{3} - 1) = 0$ と因数分解して、 $x = 0, 1$ の両方を調べる。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること

ラグランジュの未定乗数法（大学数学微分積分）
最小二乗法と回帰直線（大学数学数理統計）
欠品を許す在庫モデル（大学数学オペレーションズ・リサーチ）
ベクトル場の零点の指数（大学院数学微分トポロジー・特性類）
有限の熱伝達をもつ熱機関の出力（大学物理熱力学）