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微分積分の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学微分積分

2 変数関数
$f (x, y) = 3 x - x^{3} - y^{2} + 4 y (x, y は実数)$
はただ 1 つの点で極大となる。その極大値を求めよ。

この問題で使うもの

偏微分と全微分（説明と入口の問題）
2 変数関数の極値（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（34 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

2 変数関数の極値の求め方を使います。まず $f_{x} = 0, f_{y} = 0$ を連立して停留点を求め、次に 2 階の偏導関数で判定します。

ヒント 2

停留点で $H = f_{xx} f_{y y} - (f_{x y})^{2}$ を計算し、 $H > 0$ かつ $f_{xx} < 0$ なら極大、 $H > 0$ かつ $f_{xx} > 0$ なら極小、 $H < 0$ なら鞍点と判定します。

ヒント 3

$f_{x} = 3 - 3 x^{2} = 0$ , $f_{y} = - 2 y + 4 = 0$ より停留点は $(1, 2)$ , $(- 1, 2)$ 。 $f_{xx} = - 6 x$ , $f_{x y} = 0$ , $f_{y y} = - 2$ なので $H = 12 x$ です。

答えと解説

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6

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解説を読む

手順 1：停留点を求める。

1 階の偏導関数は
$f_{x} = 3 - 3 x^{2}, f_{y} = - 2 y + 4$
です。停留点は $f_{x} = 0$ かつ $f_{y} = 0$ を満たす点です。
$3 - 3 x^{2} = 0$ より $x^{2} = 1$ 、すなわち $x = 1, - 1$ 。
$- 2 y + 4 = 0$ より $y = 2$ 。
よって停留点は $(1, 2)$ と $(- 1, 2)$ の 2 つです。

手順 2：2 階の偏導関数を求める。
$f_{xx} = - 6 x, f_{x y} = 0, f_{y y} = - 2$
ヘッセ行列式は
$H (x, y) = f_{xx} f_{y y} - (f_{x y})^{2} = (- 6 x) (- 2) - 0^{2} = 12 x$
です。

手順 3：各停留点で判定する。

点 $(1, 2)$ ： $H = 12 > 0$ かつ $f_{xx} = - 6 < 0$ なので、この点で極大となります。
点 $(- 1, 2)$ ： $H = - 12 < 0$ なので、この点は鞍点であり、極値をとりません。

手順 4：極大値を計算する。
$f (1, 2) = 3 \cdot 1 - 1^{3} - 2^{2} + 4 \cdot 2 = 3 - 1 - 4 + 8 = 6$

したがって、極大値は $6$ です。

別解

偏微分を計算する。 $f_{x} = 3 - 3 x^{2}$ 、 $f_{y} = - 2 y + 4$ 。
$f_{x} = 0$ より $x = \pm 1$ 、 $f_{y} = 0$ より $y = 2$ 。よって停留点は $(1, 2)$ と $(- 1, 2)$ 。
2 階偏微分は $f_{xx} = - 6 x$ 、 $f_{y y} = - 2$ 、 $f_{x y} = 0$ 。ヘッセ行列式は $D = f_{xx} f_{y y} - f_{x y}^{2} = 12 x$ 。
$(1, 2)$ では $D = 12 > 0$ かつ $f_{xx} = - 6 < 0$ なので極大。
$(- 1, 2)$ では $D = - 12 < 0$ なので鞍点で、極値ではない。
極大値は $f (1, 2) = 3 - 1 - 4 + 8 = 6$ 。
検算として、 $f = (3 x - x^{3}) + (- (y - 2)^{2} + 4)$ と変形できる。 $y$ 側は $y = 2$ で最大値 4。 $x$ 側は $g (x) = 3 x - x^{3}$ で、 $g (1) = 2$ が極大値。合計は $2 + 4 = 6$ で一致する。

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