微分積分

関数 $f(x)=e^{2x}$ のマクローリン展開を
$$e^{2x}=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+a_4{x}^4+\cdots$$
とする。ただし $x$ は実数である。$x^4$ の係数 $a_4$ の値を求めよ。

関数 $f(x)=\log (1+x)$ $(x>-1)$ について、$x=0$ における 3 次のテイラー多項式（マクローリン多項式）
$$P_3(x)=\sum _{k=0}^3\frac{f^{(k)}(0)}{k!}{x}^k$$
を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

関数 $f(x)=\log (1+2x)$ $\left(x>-\frac{1}{2}\right)$ のマクローリン展開
$$f(x)=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+a_3{x}^3+\cdots$$
における $x^3$ の係数 $a_3$ を求めよ。ただし、$\log$ は自然対数とする。

極限 $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-1-2x}{1-\cos x}$$ の値を求めよ。ただし $x$ は $0$ でない実数とする。

極限
$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2\cos x-2+x^2}{x^4}$$
の値を求めよ。ただし $x$ は $0$ でない実数とする。

$x$ は $x>-1$ かつ $x\ne 0$ を満たす実数とする。極限 $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1-\log (1+x)}{x^2}$$ の値を求めよ。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot 4^n}$$
の和を求めよ。

無限級数 $$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot 3^n}$$ の和を求めよ。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n\cdot 4^n}$$
の和を求めよ。

$i$ を虚数単位とする。複素数
$$z=2e^{\frac{2\pi }{3}i}$$
を、実数 $a,b$ を用いて $a+bi$ の形で表せ。

$i$ を虚数単位とする。オイラーの公式 $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$（$\theta$ は実数）を用いて、複素数 $e^{\frac{2\pi }{3}i}$ を $a+bi$（$a$, $b$ は実数）の形で表せ。

$i$ を虚数単位とする。オイラーの公式を用いて、複素数 $e^{\frac{3\pi }{4}i}$ を $a+bi$（$a$, $b$ は実数）の形で表せ。

広義積分
$$I={\int }_0^8\frac{dx}{\sqrt[3]{x}}$$
が収束することを確かめ、その値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^3\frac{dx}{\sqrt{3-x}}$$
は収束する。その値を求めよ。

広義積分
$${\int }_0^8\frac{dx}{\sqrt[3]{x^2}}$$
の値を求めよ。

$x,y$ を実数とし、2 変数関数
$$f(x,y)=x^3{y}^2-4xy+y^3$$
を考える。点 $(1,2)$ における偏微分係数 $f_x(1,2)$ と $f_y(1,2)$ を求め、組 $(f_x(1,2),f_y(1,2))$ の形で答えよ。

2 変数関数
$$f(x,y)=x^3{y}^2+2xy-y^3(x,y\text{は実数})$$
について、点 $(1,2)$ における偏微分係数 $f_x(1,2)$ と $f_y(1,2)$ を求め、$(f_x(1,2),f_y(1,2))$ の組で答えよ。

2 変数関数
$$f(x,y)=x^3{y}^2-4xy+y^3(x,y\text{は実数})$$
について、点 $(1,2)$ における偏微分係数 $f_x(1,2)$ と $f_y(1,2)$ を、この順に組 $(f_x(1,2),f_y(1,2))$ の形で求めよ。

関数 $z=x^{2}y$ において、$x$ と $y$ が実数 $t$ の関数として
$$x=t+1,y=t^2$$
で与えられているとする。多変数の連鎖律を用いて、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

実数 $x,y$ の関数 $z=x^{2}y$ を考える。実数 $t$ について $x=t^2+1,y=t^3$ とおくと、$z$ は $t$ の関数になる。このとき、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

関数 $z=x^{2}y$ において、$x=2t+1,y=t^2$ とする（$t$ は実数）。多変数の連鎖律を用いて、$t=1$ における $\frac{dz}{dt}$ の値を求めよ。

2 変数関数
$$f(x,y)=x^2+2x+y^3-12y(x,y\text{は実数})$$
を考える。$f$ の停留点（$f_x=f_y=0$ となる点）はちょうど 2 つあり、そのうち 1 つでは $f$ は極値をとらない（鞍点である）。この極値をとらない停留点の座標 $(x,y)$ を求めよ。

2 変数関数
$$f(x,y)=3x-x^3-y^2+4y(x,y\text{は実数})$$
はただ 1 つの点で極大となる。その極大値を求めよ。

2 変数関数
$$f(x,y)=x^3-3x+y^2-4y(x,y\text{は実数})$$
は、ただ 1 つの点で極値をとる。その点の座標 $(x,y)$ を求めよ。

実数 $x,y$ が条件 $$x^2+3y^2=12$$ を満たしながら動くとき、関数 $f(x,y)=x+y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

実数 $x,y$ が条件 $$x^2+y^2=20$$ を満たしながら動くとき、関数 $f(x,y)=x+2y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

実数 $x,y$ が条件 $$x^2+y^2=5$$ を満たしながら動くとき、関数 $f(x,y)=x+2y$ の最大値と最小値を、この順に求めよ。

累次積分
$$I={\int }_0^1\left({\int }_{\sqrt[3]{y}}^1\sin \left(\pi x^4\right)dx\right)dy$$
の値を、積分の順序を交換して求めよ。

次の累次積分 $I$ の値を求めよ。
$$I={\int }_0^4\left({\int }_{\sqrt{y}}^2{e}^{x^3}dx\right)dy$$
ただし、$e^{x^3}$ の原始関数は初等関数で表せないので、そのままでは内側の積分を計算できない。積分の順序を交換して計算せよ。

次の累次積分の値を求めよ。$$I={\int }_0^{e-1}\left({\int }_{\log (1+x)}^1\frac{e^{y^2}}{1+x}dy\right)dx$$

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 3\}$$ に対して、重積分 $$I={\iint }_D\frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy$$ の値を求めよ。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 4\}$$ に対して、重積分 $$I={\iint }_D\frac{1}{1+x^2+y^2}dxdy$$ の値を求めよ。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 1,y\ge 0\}$$ に対して、重積分 $$I={\iint }_D{e}^{x^2+y^2}dxdy$$ の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{x^2}{2}}dx$$
の値を求めよ。ただし、$I$ が収束することは認めてよい。

広義積分
$$I={\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-2x^2}dx$$
の値を求めよ。ただし、$I^2$ を $xy$ 平面全体での重積分に直し、極座標に変換して計算すること。

広義積分
$${\int }_{-\infty }^{\infty }{e}^{-\frac{x^2}{4}}dx$$
の値を求めよ。

広義積分
$${\int }_1^{\infty }\frac{dx}{x^2(x+1)}$$
の値を求めよ。

曲線
$$y=\frac{x^2}{4}-\frac{1}{2}\log x(1\le x\le e)$$
の長さ $L$ を求めよ。

平面上の領域 $D=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le 2x\}$ に対して、重積分
$$I={\iint }_D\sqrt{x^2+y^2}dxdy$$
の値を求めよ。

無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{n(n+2)}{3^n}$$
の和を求めよ。

2 変数関数
$$f(x,y)=x^3-6xy+3y^2+1(x,y\text{は実数})$$
はただ 1 つの点で極小となる。その極小値を求めよ。

平面上の領域
$$D=\{(x,y)\mid 1\le x^2+y^2\le 4,0\le y\le x\}$$
に対して、重積分
$$I={\iint }_D(x+y)dxdy$$
の値を求めよ。

実数 $x$ に対して、べき級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(x-2{)}^n}{n\cdot 3^n}$$
が収束するような $x$ の範囲を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }{x}^3{e}^{-x^2}dx$$
の値を求めよ。

極限
$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x-\arctan x}{x-\sin x}$$
の値を求めよ。ただし $x$ は $0$ でない実数とする。

実数 $x,y$ に対して
$$f(x,y)=x^3+3x{y}^2-15x-12y$$
と定める。$f$ が ${\mathbb{R}}^2$ 上で極値をとる点は $(2,1)$ と $(-2,-1)$ の 2 点だけであり、$(2,1)$ で極小値 $-28$、$(-2,-1)$ で極大値 $28$ をとることを証明せよ。ただし、次の事実は用いてよい。
- ${\mathbb{R}}^2$ 上の $C^1$ 級関数が点 $P$ で極値をとるならば、$P$ で 2 つの偏導関数はともに $0$ になる。
- （2 階導関数による判定）$C^2$ 級関数 $f$ の点 $P$ で $f_x=f_y=0$ とし、$H=f_{xx}{f}_{yy}-(f_{xy}{)}^2$ を $P$ で考える。$H>0$ かつ $f_{xx}>0$ なら $P$ で極小、$H>0$ かつ $f_{xx}<0$ なら $P$ で極大、$H<0$ なら $P$ で極値をとらない。

実数 $x$ に対して $f(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$ とおき、$a$ を正の実数とする。曲線 $y=f(x)$ $(0\le x\le a)$ の長さを $L$、この曲線と $x$ 軸および 2 直線 $x=0$, $x=a$ で囲まれた部分の面積を $S$ とする。$L=S$ であり、その共通の値が $\frac{e^a-e^{-a}}{2}$ であることを証明せよ。ただし、$C^1$ 級関数 $g$ のグラフ $y=g(x)$ $(\alpha \le x\le \beta )$ の長さが ${\int }_{\alpha }^{\beta }\sqrt{1+g^{\prime }(x{)}^2}dx$ で与えられることは用いてよい。

座標空間において、曲面
$$z=\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}+\sqrt{3}y$$
のうち、三角形の領域 $D=\{(x,y)\mid 0\le y\le x\le 5\}$ の上にある部分の曲面積 $S$ を求めよ。

実数 $x,y$ が条件 $$x^2+2y^2=6$$ を満たしながら動くとき、関数 $f(x,y)=x^{2}y$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid (x^2+y^2{)}^2\le 2(x^2-y^2),x\ge 0\}$$ （レムニスケートの右半分で囲まれた部分）に対して、重積分 $$I={\iint }_{D}xdxdy$$ の値を求めよ。

平面上の領域
$$D=\{(x,y)\mid x^2-2xy+2y^2\le 4,y\ge 0\}$$
に対して、重積分
$$I={\iint }_{D}xydxdy$$
の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\log (1+x^2)}{x^2}dx$$
の値を求めよ。

極限
$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\cos x{)}^{\frac{1}{{\sin }^{2}x}}-\frac{1}{\sqrt{e}}}{x^2}$$
の値を求めよ。ただし $x$ は $0<|x|<\frac{\pi }{2}$ を満たす実数とする。

座標平面上の曲線 $C$ を、媒介変数 $t$ を用いて
$$x=t^2,y=t-\frac{t^3}{3}(0\le t\le \sqrt{3})$$
で定める。曲線 $C$ を $x$ 軸のまわりに 1 回転させてできる曲面の面積 $S$ を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\log \left(1+\frac{1}{x^2}\right)dx$$
の値を求めよ。

座標空間において、回転放物面 $z=x^2+y^2$ と平面 $z=2x+4y$ で囲まれた立体
$$V=\{(x,y,z)\mid x^2+y^2\le z\le 2x+4y\}$$
の体積を求めよ。

$a$ を正の実数とする。広義積分
$${\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{x^2+a^2}dx$$
は収束し、その値が $\frac{\pi \log a}{2a}$ であることを証明せよ。ただし、$\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ であること、および「区間上で $0\le f(x)\le g(x)$ を満たす連続関数 $f,g$ について、$g$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」こと（比較判定法）、「$|f|$ の広義積分が収束すれば $f$ の広義積分も収束する」ことは用いてよい。

$f,g$ を閉区間 $[0,1]$ 上の実数値連続関数とし、平面の開集合
$$D=\{(x,y)\mid x>0,y>0,x+y<1\}$$
を考える。このとき
$${\iint }_{D}f(x+y)g\left(\frac{x}{x+y}\right)dxdy=\left({\int }_0^{1}tf(t)dt\right)\left({\int }_0^{1}g(s)ds\right)$$
が成り立つことを証明せよ。ただし、次の事実は用いてよい。
- （変数変換公式）$E,F$ を平面の有界な開集合、$\Phi :E\to F$ を $C^1$ 級の全単射で、逆写像も $C^1$ 級であり、ヤコビアン $J_{\Phi }$ が $E$ 上で $0$ にならないものとする。$F$ 上の有界な連続関数 $h$ に対して ${\iint }_{F}h(x,y)dxdy={\iint }_{E}h(\Phi (u,v))|J_{\Phi }(u,v)|dudv$ が成り立つ（両辺の積分は存在する）。
- （累次積分）$(0,1)\times (0,1)$ 上の有界な連続関数 $k(u)l(v)$（$k,l$ は $[0,1]$ 上連続）について ${\iint }_{(0,1{)}^2}k(u)l(v)dudv={\int }_0^{1}k(u)du{\int }_0^{1}l(v)dv$ が成り立つ。

平面上の領域 $$D=\{(x,y)\mid |x{|}^{2/3}+|y{|}^{2/3}\le 1\}$$ （アステロイドで囲まれた領域）に対して、重積分 $$I={\iint }_D(x^2+y^2)dxdy$$ の値を求めよ。

広義積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{{\sin }^{3}x}{x^2}dx$$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ とおく。無限級数
$$S=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{(n+1)2^n}$$
の値を求めよ。

$a,b$ を実数の定数とする。極限
$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^6}\left(\cos x-\frac{1+a{x}^2}{1+b{x}^2}\right)$$
が有限の値に収束するとき、$L$ の値を求めよ。ただし $x$ は $0$ でない実数で、$x$ は $1+b{x}^2\ne 0$ を満たす範囲（$0$ の十分近く）を動くものとする。

座標空間の立体
$$V=\{(x,y,z)\mid (x^2+y^2+z^2{)}^2\le 2xyz\}$$
の体積を求めよ。

広義積分 $$I={\int }_0^{\infty }\frac{\log \left(x^2+9\right)}{x^2+4}dx$$ の値を求めよ。

実数 $x,y,z$ が 2 つの条件 $$x^2+y^2+z^2=1,x+y+z=1$$ を満たして動くとき、$$f(x,y,z)=x^3+y^3+z^3$$ の最大値と最小値を、この順に求めよ。

実数の定数 $a,b$ は、極限
$$L=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^4}\left(\log (1+x)-\frac{x+a{x}^2}{1+bx}\right)$$
が有限の値として存在するように定められているとする。このとき $L$ の値を求めよ。

広義積分
$$I={\int }_0^{\infty }\frac{\log x}{(x^2+1)(x^2+4)}dx$$
の値を求めよ。

極限
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{(\cos x{)}^{1/x^2}-e^{-1/2}}{x^2}$$
の値を求めよ。

実数 $x,y,z$ が
$$x+y+z=1,x^2+y^2+z^2=1$$
を満たしながら動くとき、$f(x,y,z)=xyz$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

実数 $x,y,z$ が 2 つの条件
$$x^2+y^2+z^2=6,x+y+z=0$$
を満たしながら動くとき、$f(x,y,z)=xyz$ の最大値と最小値をこの順に求めよ。

平面上の領域
$$D=\{(x,y)\mid x>0,1\le x^2-y^2\le 4,2\le xy\le 5\}$$
に対して、重積分
$$I={\iint }_D(x^4-y^4)dxdy$$
の値を求めよ。

実数全体で定義された関数 $h(y)=y+y^3$ は狭義単調増加で、実数全体から実数全体への全単射である。その逆関数を $g(x)$ とする（すなわち、すべての実数 $x$ に対して $g(x)+g(x{)}^3=x$ が成り立つ）。$g$ の $x=0$ における 7 階微分係数 $g^{(7)}(0)$ の値を求めよ。

正の整数 $n$ に対して $H_n=\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}$ とおく。級数
$$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{H_n}{n(n+1)}$$
は収束し、その和が $\frac{{\pi }^2}{6}$ であることを証明せよ。ただし、$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$ であること、および $\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\log x}{x}=0$ であることは用いてよい。