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微分積分の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学微分積分

平面上の領域 $D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 3}$ に対して、重積分 $I = \iint_{D} \frac{1}{1 + x ^{2} + y ^{2}} d x d y$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

重積分の変数変換とヤコビアン（説明と入口の問題）
置換積分（説明と入口の問題）
定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（47 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

重積分の変数変換（極座標変換）を使います。領域が円板で、被積分関数が $x^{2} + y^{2}$ だけで書けることに注目しましょう。

ヒント 2

$x = r cos θ, y = r sin θ$ とおくと、ヤコビアンは $r$ なので $d x d y = r d r d θ$ です。領域は $0 \leq r \leq 3, 0 \leq θ \leq 2 π$ になります。

ヒント 3

$I = \int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{3} \frac{r}{1 + r ^{2}} d r$ です。 $r$ の積分は $(1 + r^{2})^{'} = 2 r$ を使うと $[\frac{1}{2} lo g (1 + r^{2})]_{0}^{3}$ になります。

答えと解説

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2 π lo g 2

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解説を読む

方針　領域 $D$ は原点を中心とする半径 $3$ の円板で、被積分関数は $x^{2} + y^{2}$ だけの式です。そこで極座標に変数変換します。

1. 変数変換とヤコビアン　 $x = r cos θ, y = r sin θ$ とおきます。ヤコビアンは
$\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( r , θ )} = cos θ sin θ - r sin θ r cos θ = r cos^{2} θ + r sin^{2} θ = r$
です。 $r \geq 0$ なので、その絶対値は $r$ です。したがって $d x d y = r d r d θ$ となります。

2. 領域の書き換え　 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ なので、 $x^{2} + y^{2} \leq 3$ は $0 \leq r \leq 3$ になります。円板全体を表すので、 $θ$ の範囲は $0 \leq θ \leq 2 π$ です。

3. 被積分関数の書き換え　 $\frac{1}{1 + x ^{2} + y ^{2}} = \frac{1}{1 + r ^{2}}$ です。

4. 累次積分の計算
$I = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{3} \frac{1}{1 + r ^{2}} r d r d θ = \int_{0}^{2 π} d θ \cdot \int_{0}^{3} \frac{r}{1 + r ^{2}} d r$
と、 $θ$ の積分と $r$ の積分の積に分けられます。

$r$ の積分では、 $(1 + r^{2})^{'} = 2 r$ に注目します。 $\frac{r}{1 + r ^{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{( 1 + r ^{2} ) ^{'}}{1 + r ^{2}}$ なので、
$\int_{0}^{3} \frac{r}{1 + r ^{2}} d r = [\frac{1}{2} lo g (1 + r^{2})]_{0}^{3} = \frac{1}{2} (lo g 4 - lo g 1) = \frac{1}{2} lo g 4 = lo g 2$
です。また $\int_{0}^{2 π} d θ = 2 π$ です。

以上より
$I = 2 π \cdot lo g 2 = 2 π lo g 2$

別解

極座標 $x = r cos θ, y = r sin θ$ に変換する。領域 $D$ は $0 \leq r \leq 3, 0 \leq θ \leq 2 π$ で、 $d x d y = r d r d θ$ である。
$I = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{3} \frac{r}{1 + r ^{2}} d r d θ = 2 π \cdot [\frac{1}{2} lo g (1 + r^{2})]_{0}^{3} = 2 π \cdot \frac{1}{2} lo g 4 = π lo g 4 = 2 π lo g 2.$
検算： $u = 1 + r^{2}$ と置換すると $\int_{0}^{3} \frac{r}{1 + r ^{2}} d r = \frac{1}{2} \int_{1}^{4} \frac{d u}{u} = \frac{1}{2} lo g 4 = lo g 2$ となり、 $2 π lo g 2$ で一致する。数値では約 4.355 で、被積分関数が 1/4 以上 1 以下、面積 $3 π \approx 9.42$ から見て妥当である。

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