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微分積分の問題

難易度 1教科書の例題レベル大学数学微分積分

平面上の領域 $D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1, y \geq 0}$ に対して、重積分 $I = \iint_{D} e^{x^{2} + y^{2}} d x d y$ の値を求めよ。

この問題で使うもの

重積分の変数変換とヤコビアン（説明と入口の問題）
置換積分（説明と入口の問題）
基本的な関数の不定積分（説明と入口の問題）

この問題を解けるようになるまで（47 技能）

算数中学高校大学大学院

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ヒント

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ヒント 1

領域が円の一部で、被積分関数が $x^{2} + y^{2}$ の式なので、極座標 $x = r cos θ, y = r sin θ$ への変数変換（ヤコビアン）を使いましょう。

ヒント 2

ヤコビアンは $\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( r , θ )} = r$ なので、 $d x d y = r d r d θ$ です。領域は $0 \leq r \leq 1, 0 \leq θ \leq π$ になります。

ヒント 3

$I = \int_{0}^{π} \int_{0}^{1} r e^{r^{2}} d r d θ$ です。内側は $t = r^{2}$ と置換すると計算できます。

答えと解説

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\frac{π ( e - 1 )}{2}

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解説を読む

方針　領域 $D$ は半径 $1$ の円の上半分で、被積分関数は $x^{2} + y^{2}$ だけの式です。そこで極座標に変数変換します。

1. 変数変換とヤコビアン　 $x = r cos θ, y = r sin θ$ とおきます。ヤコビアンは
$\frac{\partial ( x , y )}{\partial ( r , θ )} = \frac{\partial x}{\partial r} \frac{\partial y}{\partial r} \frac{\partial x}{\partial θ} \frac{\partial y}{\partial θ} = cos θ sin θ - r sin θ r cos θ = r cos^{2} θ + r sin^{2} θ = r$
です。 $r \geq 0$ なので、その絶対値も $r$ です。よって $d x d y = r d r d θ$ となります。

2. 領域の書き換え　 $x^{2} + y^{2} = r^{2} \leq 1$ より $0 \leq r \leq 1$ です。 $y = r sin θ \geq 0$ より $0 \leq θ \leq π$ です。したがって $D$ は $E = {(r, θ) ∣ 0 \leq r \leq 1, 0 \leq θ \leq π}$ に対応します。

3. 被積分関数の書き換え　 $e^{x^{2} + y^{2}} = e^{r^{2}}$ です。

4. 計算
$I = \iint_{E} e^{r^{2}} r d r d θ = \int_{0}^{π} (\int_{0}^{1} r e^{r^{2}} d r) d θ .$
内側の積分で $t = r^{2}$ とおくと、 $d t = 2 r d r$ です。積分範囲は $r : 0 \to 1$ が $t : 0 \to 1$ に対応します。よって
$\int_{0}^{1} r e^{r^{2}} d r = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} e^{t} d t = \frac{1}{2} [e^{t}]_{0}^{1} = \frac{e - 1}{2} .$
これは $θ$ によらない定数なので、
$I = \int_{0}^{π} \frac{e - 1}{2} d θ = \frac{π ( e - 1 )}{2} .$

ヤコビアンの $r$ が掛かったおかげで、 $r e^{r^{2}}$ の形になり置換積分ができることに注意してください。 $r$ を掛け忘れると $\int e^{r^{2}} d r$ が現れ、初等的には計算できなくなります。

答え　 $I = \frac{π ( e - 1 )}{2}$

別解

極座標 $x = r cos θ, y = r sin θ$ を用いる。 $D$ は $0 \leq r \leq 1, 0 \leq θ \leq π$ に対応し、ヤコビアンは $r$ である。

$I = \int_{0}^{π} \int_{0}^{1} e^{r^{2}} r d r d θ = π \cdot [\frac{1}{2} e^{r^{2}}]_{0}^{1} = \frac{π}{2} (e - 1)$

検算: 単位円全体なら $π (e - 1)$ で、上半分はその半分。被積分関数は $x^{2} + y^{2}$ のみに依存し $y \to - y$ で対称なので、上半分は全体の半分となり $\frac{π}{2} (e - 1)$ で一致する。数値は約 $2.699$ 。

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