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技能一覧 › 大学数学 微分積分

重積分と累次積分

領域を図示して重積分を累次積分に直し、積分の順序を交換できる

前提

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算数中学高校大学大学院

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  43. 定積分の置換・部分積分と偶関数・奇関数 （数学III 積分法）

説明

平面上の領域 の上で 2 変数関数 を積分したもの（重積分） を、1 変数の定積分を 2 回くり返す形（累次積分）に直して計算できるようになります。 なら、これは を底面とし、高さ の曲面を上面とする立体の体積です。さらに、同じ領域を「縦に切る」か「横に切る」かを選び直す（積分の順序を交換する）ことで、一方の順序では原始関数が求まらない積分も計算できるようになります。

なぜそうしてよいのか

重積分は、 を小さな長方形に細かく分け、各小長方形の面積 に、その中の 1 点での値 を掛けて足し合わせ、分割を細かくしたときの極限として定義されます。 なら、細い角柱の体積を足したものの極限、つまり立体の体積です。この足し算は、どんな順に足しても同じ値になります。「まず を固定して 方向に足し、次に 方向に足す」と考えると累次積分になります。

立体の体積で考えると直観的です。 を 1 つ固定して立体を平面 一定 で切ると、切り口の面積は です。ここで は の範囲を動きます。この切り口の面積を について積分すれば体積なので、 となります。横に切っても同じ立体の体積なので、どちらの順序でも値は一致します。 が 上で連続で、 が有界な閉領域で境界がこのような曲線で表せるときは、この等式が正しく成り立つことが知られています（フビニの定理）。

したがって積分の順序の交換は、式をいじる操作ではありません。「同じ領域 を別の向きの不等式で書き直す」作業です。そのため、領域を図示して不等式で表すことが一番大切になります。

手順

  1. 領域 を図示し、境界の曲線と交点（頂点）をすべて求める。

  2. 縦に切る場合は、 を の形の不等式で表し、 と書く。外側の積分の端 は定数にする。

  3. 横に切る場合は、 を の形で表し、 と書く。

  4. 順序を交換するときは、与えられた累次積分の積分範囲から の不等式を読み取って図示し、それをもう一方の形（手順 2 または 3）に書き直す。境界の式が途中で変わる場合は、領域を分けて積分を足す。

  5. 内側の積分を計算する。このとき外側の変数は定数として扱う。得られた関数を外側の変数について積分する。

例題

累次積分 の値を求めよ。

例題の解答

の原始関数は初等関数で表せないので、このままの順序では内側の積分を計算できない。そこで積分の順序を交換する。

手順 1・4（領域の読み取りと図示）：積分範囲は である。これは 3 直線 、、 で囲まれた三角形で、頂点は である。

手順 2（縦に切る形に書き直す）： を で固定すると、 は下端 から上端 まで動く。よって は と表せるので、

手順 5（内側から計算）：内側は についての積分で、 は定数として扱う。したがって となる。次に外側の積分を と置換して計算する。 で、 のとき だから、

答え:

よくある誤り

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

この技能を使う問題

この技能の次に学べること