交換項を含む期待値と相互作用のエネルギー

対称・反対称な 2 粒子波動関数で $⟨(x_{1} - x_{2})^{2} ⟩$ のような期待値や、接触相互作用 $g δ (x_{1} - x_{2})$ の 1 次摂動のエネルギーを、直接項と交換項に分けて計算できる

前提

同種粒子と交換対称性（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
縮退のない場合の摂動論（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
重積分と累次積分（大学数学微分積分）

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算数中学高校大学大学院

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同種粒子と交換対称性（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
調和振動子と昇降演算子（大学物理量子力学（1 次元の問題））
縮退のない場合の摂動論（大学物理量子力学（角運動量・近似法））
重積分と累次積分（大学数学微分積分）

説明

2 つの同種粒子が異なる 1 粒子状態 $ψ_{a}, ψ_{b}$ に入っているとき、波動関数を対称化・反対称化すると、2 粒子の量の期待値には「古典的に 2 粒子を独立に置いたときの値（直接項）」に加えて、交換対称性だけから生じる「交換項」が現れます。この技能では、期待値を直接項と交換項に分けて計算し、 $⟨(x_{1} - x_{2})^{2} ⟩$ から「ボース粒子は寄り合い、フェルミ粒子は避け合う」ことを定量的に示したり、接触相互作用 $g δ (x_{1} - x_{2})$ による 1 次摂動のエネルギーを求めたりします。ヘリウム原子の励起状態の分裂や、冷却原子の相互作用エネルギーの計算で使います。

なぜそうしてよいのか

$ψ_{a}, ψ_{b}$ を規格直交な 1 粒子波動関数（ $a \neq = b$ ）とし、
$Ψ_{\pm} (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{2} [ψ_{a} (x_{1}) ψ_{b} (x_{2}) \pm ψ_{b} (x_{1}) ψ_{a} (x_{2})]$
とします（ $+$ が対称、 $-$ が反対称）。 $ψ_{a}, ψ_{b}$ が直交するので $Ψ_{\pm}$ は規格化されています。2 粒子を入れ替えても変わらない関数 $f (x_{1}, x_{2}) = f (x_{2}, x_{1})$ の期待値 $\iint Ψ_{\pm}^{*} f Ψ_{\pm} d x_{1} d x_{2}$ を展開すると、 $\frac{1}{2}$ が掛かった 4 つの積分が出ます。積分変数の名前 $x_{1} \leftrightarrow x_{2}$ を入れ替えると、2 つの「対角」の積分どうし、2 つの「交差」の積分どうしが等しいことがわかり、
$⟨ f ⟩_{\pm} = D \pm X,$
$D = \iint ∣ ψ_{a} (x_{1}) ∣^{2} ∣ ψ_{b} (x_{2}) ∣^{2} f d x_{1} d x_{2}, X = \iint ψ_{a}^{*} (x_{1}) ψ_{b}^{*} (x_{2}) f ψ_{b} (x_{1}) ψ_{a} (x_{2}) d x_{1} d x_{2}$
となります（ $f$ が実数値なら $X$ は実数）。 $D$ が直接項、 $X$ が交換項です。

$f = (x_{1} - x_{2})^{2} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} x_{2}$ では、 $D = ⟨ x^{2} ⟩_{a} + ⟨ x^{2} ⟩_{b} - 2 ⟨ x ⟩_{a} ⟨ x ⟩_{b}$ 。交換項では $x_{1}^{2}$ の部分が $\int ψ_{a}^{*} x^{2} ψ_{b} d x \cdot \int ψ_{b}^{*} ψ_{a} d x = 0$ （直交性）と消え（ $x_{2}^{2}$ も同様）、 $- 2 x_{1} x_{2}$ の部分だけが残って $X = - 2∣ x_{ab} ∣^{2}$ （ $x_{ab} = \int ψ_{a}^{*} x ψ_{b} d x$ ）。よって $⟨(x_{1} - x_{2})^{2} ⟩_{\pm} = D \mp 2∣ x_{ab} ∣^{2}$ で、対称なら距離が縮み、反対称なら広がります。

接触相互作用には、ディラックのデルタ関数 $δ (x)$ を使います。これは「 $x \neq = 0$ では $0$ で、 $x = 0$ に集中した面積 $1$ のとがった山」を理想化したもので、連続な関数 $h$ に対して $\int h (x) δ (x - x_{0}) d x = h (x_{0})$ （積分範囲は $x_{0}$ を内部に含む）という性質で定義されます。2 重積分では、まず $x_{2}$ について積分すると $δ (x_{1} - x_{2})$ が $x_{2} = x_{1}$ を取り出すので $\iint F (x_{1}, x_{2}) δ (x_{1} - x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int F (x, x) d x$ となります。 $f = g δ (x_{1} - x_{2})$ ではこれを使って 1 重積分になり、 $D = g \int ∣ ψ_{a} ∣^{2} ∣ ψ_{b} ∣^{2} d x$ 、 $X = g \int ψ_{a}^{*} ψ_{b}^{*} ψ_{b} ψ_{a} d x = g \int ∣ ψ_{a} ∣^{2} ∣ ψ_{b} ∣^{2} d x$ と同じ値になります。よって 1 次摂動のエネルギー $E^{(1)} = ⟨ Ψ_{\pm} ∣ H^{'} ∣ Ψ_{\pm} ⟩$ は、対称なら $2 g \int ∣ ψ_{a} ∣^{2} ∣ ψ_{b} ∣^{2} d x$ 、反対称なら $0$ です。反対称な波動関数は $x_{1} = x_{2}$ で $0$ になるので、同じ点にいないと効かない接触相互作用を感じない、と直観的に理解できます。なお、スピン $1/2$ のフェルミ粒子では全体が反対称であればよく、スピン一重項なら空間部分は対称 $Ψ_{+}$ 、三重項なら反対称 $Ψ_{-}$ になります。

手順

2 粒子の空間波動関数を $Ψ_{\pm} = \frac{1}{2} [ψ_{a} (x_{1}) ψ_{b} (x_{2}) \pm ψ_{b} (x_{1}) ψ_{a} (x_{2})]$ の形に書き、符号（対称 $+$ か反対称 $-$ か）を粒子の種類とスピン状態から決める。 $ψ_{a}, ψ_{b}$ が規格直交であることを確かめる。
求める量 $f (x_{1}, x_{2})$ が $x_{1} \leftrightarrow x_{2}$ で不変であることを確かめ、 $⟨ f ⟩_{\pm} = D \pm X$ を使う。
直接項 $D = \iint ∣ ψ_{a} (x_{1}) ∣^{2} ∣ ψ_{b} (x_{2}) ∣^{2} f d x_{1} d x_{2}$ を計算する。 $f = (x_{1} - x_{2})^{2}$ なら $D = ⟨ x^{2} ⟩_{a} + ⟨ x^{2} ⟩_{b} - 2 ⟨ x ⟩_{a} ⟨ x ⟩_{b}$ 。 $f$ にデルタ関数があれば $\iint F (x_{1}, x_{2}) δ (x_{1} - x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int F (x, x) d x$ で 1 重積分にする。
交換項 $X = \iint ψ_{a}^{*} (x_{1}) ψ_{b}^{*} (x_{2}) f ψ_{b} (x_{1}) ψ_{a} (x_{2}) d x_{1} d x_{2}$ を計算する。 $f = (x_{1} - x_{2})^{2}$ なら $X = - 2∣ x_{ab} ∣^{2}$ 、 $f = g δ (x_{1} - x_{2})$ なら $X = D = g \int ∣ ψ_{a} ∣^{2} ∣ ψ_{b} ∣^{2} d x$ 。
$D \pm X$ を組み立てる。相互作用が摂動 $H^{'}$ なら、これが 1 次のエネルギーのずれ $E^{(1)}$ になる。

例題

幅 $L$ の無限に深い井戸型ポテンシャル（ $0 \leq x \leq L$ ）の 1 粒子固有関数を $ψ_{n} (x) = \frac{2}{L} sin \frac{nπ x}{L}$ とする。スピンを持たない 2 個の同種ボース粒子が $n = 1$ と $n = 2$ の状態に 1 個ずつ入っており、空間波動関数は $Ψ = \frac{1}{2} [ψ_{1} (x_{1}) ψ_{2} (x_{2}) + ψ_{2} (x_{1}) ψ_{1} (x_{2})]$ である。粒子間に接触相互作用 $H^{'} = g δ (x_{1} - x_{2})$ （ $g$ は定数、 $δ$ はディラックのデルタ関数）がはたらくとき、この状態のエネルギーの 1 次摂動のずれ $E^{(1)}$ を $g, L$ で表せ。

例題の解答

（手順 1）ボース粒子なので対称な $Ψ_{+}$ 。 $ψ_{1}, ψ_{2}$ は規格直交。

（手順 2） $H^{'} = g δ (x_{1} - x_{2})$ は $x_{1} \leftrightarrow x_{2}$ で不変なので $E^{(1)} = D + X$ 。

（手順 3） $\iint F (x_{1}, x_{2}) δ (x_{1} - x_{2}) d x_{1} d x_{2} = \int F (x, x) d x$ を使って $x_{2} = x_{1}$ とし
$D = g \int_{0}^{L} ψ_{1} (x)^{2} ψ_{2} (x)^{2} d x = \frac{4 g}{L ^{2}} \int_{0}^{L} sin^{2} \frac{π x}{L} sin^{2} \frac{2 π x}{L} d x .$
$u = π x / L$ と置換すると $d x = \frac{L}{π} d u$ で、
$sin^{2} u sin^{2} 2 u = \frac{1 - cos 2 u}{2} \cdot \frac{1 - cos 4 u}{2} = \frac{1}{4} (1 - cos 2 u - cos 4 u + \frac{cos 6 u + cos 2 u}{2}) .$
$0$ から $π$ までの積分では余弦の項はすべて $0$ になるので $\int_{0}^{π} sin^{2} u sin^{2} 2 u d u = \frac{π}{4}$ 。よって $D = \frac{4 g}{L ^{2}} \cdot \frac{L}{π} \cdot \frac{π}{4} = \frac{g}{L}$ 。

（手順 4）関数が実数なので、交換項も $x_{2} = x_{1}$ として $X = g \int_{0}^{L} ψ_{1} ψ_{2} ψ_{2} ψ_{1} d x = D = \frac{g}{L}$ 。

（手順 5） $E^{(1)} = D + X = \frac{2 g}{L}$ 。

答え: $\frac{2 g}{L}$

よくある誤り

交換項を忘れて直接項だけを答えてしまう誤り（例題で $E^{(1)} = g / L$ とする）。正しくは対称な状態で $E^{(1)} = D + X = 2 g / L$ 、反対称な状態で $D - X = 0$ 。
交換項の符号を、粒子がボース粒子かフェルミ粒子かだけで決めてしまう誤り。スピン $1/2$ のフェルミ粒子でもスピン一重項なら空間部分は対称で $⟨ f ⟩ = D + X$ 、三重項なら反対称で $D - X$ 。符号は空間波動関数の対称性で決まる。
$⟨(x_{1} - x_{2})^{2} ⟩$ の交換項で $x_{1}^{2}$ や $x_{2}^{2}$ の部分も残してしまう誤り。正しくは $\int ψ_{a}^{*} x^{2} ψ_{b} d x \cdot \int ψ_{b}^{*} ψ_{a} d x = 0$ と直交性で消え、 $⟨(x_{1} - x_{2})^{2} ⟩_{\pm} = ⟨ x^{2} ⟩_{a} + ⟨ x^{2} ⟩_{b} - 2 ⟨ x ⟩_{a} ⟨ x ⟩_{b} \mp 2∣ x_{ab} ∣^{2}$ 。
規格化因子 $\frac{1}{2}$ を落とし、4 つの積分を足したものをそのまま期待値としてしまう誤り（ $2 (D \pm X)$ になる）。正しくは $\frac{1}{2} \times (2 D \pm 2 X) = D \pm X$ 。

この説明は AI が書き、別の AI が例題を独立に解いて答えを確かめ、説明を一歩ずつ査読しました。

入口の問題

難易度 1（教科書の例題レベル）
角振動数 $ω$ の 1 次元調和振動子ポテンシャル $V (x) = \frac{1}{2} m ω^{2} x^{2}$ の中に、スピンをもたない質量 $m$ の同種ボース粒子が 2 個ある。 $α = \frac{mω}{ℏ}$ とおくと、1 粒子の基底状態と第 1 励起状態の規格化された実数の固有関数は
$φ_{0} (x) = (\frac{α}{π})^{1/4} e^{- α x^{2} /2}, φ_{1} (x) = (\frac{α}{π})^{1/4} 2 α x e^{- α x^{2} /2}$
である。2 個の粒子が $φ_{0}$ と $φ_{1}$ を 1 個ずつ占める状態は、対称化した波動関数
$Ψ (x_{1}, x_{2}) = \frac{1}{2} {φ_{0} (x_{1}) φ_{1} (x_{2}) + φ_{1} (x_{1}) φ_{0} (x_{2})}$
で表される。
この 2 粒子の間に接触相互作用 $H^{'} = g δ (x_{1} - x_{2})$ （ $g$ は正の定数）がはたらくとき、この状態のエネルギーの 1 次の摂動によるずれ $⟨ Ψ∣ H^{'} ∣Ψ ⟩$ を、 $g$ , $m$ , $ω$ , $ℏ$ を用いて表せ。必要なら $\int_{- \infty}^{\infty} x^{2} e^{- a x^{2}} d x = \frac{π}{2 a ^{3/2}}$ （ $a > 0$ ）を用いてよい。

交換項を含む期待値と相互作用のエネルギー

前提

説明

なぜそうしてよいのか

手順

例題

よくある誤り

入口の問題

この技能を使う問題